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華杯賽試題及答案解析 華杯賽試題及答案小高組篇一

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１．?dāng)z制組從a市到b市有一天的路程,，計(jì)劃上午比下午多走100千米到c市吃午飯,，由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn),，只行駛了原計(jì)劃的三分之一,，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米,，傍晚才停下來休息,，司機(jī)說，再走從c市到這里路程的三分之一就到達(dá)目的地了.問:a,、b兩市相距多少千米,？

2．問：（a）1995年全年有幾個(gè)星期日？全年有幾個(gè)月有五個(gè)星期日,？

（b）1996年全年有幾個(gè)星期日,？全年有幾個(gè)月有五個(gè)星期日？

3． 甲,、乙,、丙三個(gè)班人數(shù)相同，在班之間舉行象棋比賽,，將各班同學(xué)都按1,，2，3,，,，編號(hào)．當(dāng)兩個(gè)班比賽時(shí),，具有相同編號(hào)的同學(xué)在同一臺(tái)對(duì)壘，在甲,、乙兩班 比賽時(shí),，有15臺(tái)是男、女生對(duì)壘,；在乙,、丙兩班比賽時(shí)，有9臺(tái)是男,、女生對(duì)壘．試說明在甲,、丙兩班比賽時(shí)，男,、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)不會(huì)超過24．什么情況下,， 正好是24？

4．用0,，1,，2，3,，4五個(gè)數(shù)字,，組成四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)中的數(shù)字不同（如1023,，2341）,，求全體這樣的四位數(shù)之和．

5． 某幼兒園的小班人數(shù)最少，中班有27人,，大班比小班多6人,，春節(jié)分橘子25箱，每箱橘子不超過60個(gè),，不少于50個(gè),，橘子總數(shù)的個(gè)位數(shù)是7，若每人分19 個(gè),，則橘子數(shù)不夠,，現(xiàn)在大班每人比中班每人多分一個(gè)，中班每人比小班每人多分一個(gè),，剛好分完,，問這時(shí)大班每人分多少橘子？小班有多少人,？

6．一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn),，，,，,，．以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰是一個(gè)三角形的頂點(diǎn),，且各個(gè)三角形的邊都不相交．問有多少種連法,？

1．a(chǎn)，b兩市相距600千米 2．（a）1995年共有53個(gè)星期日,，全年有五個(gè)月有五個(gè)星期日,，（b）1996年共有52個(gè)星期日，全年只有四個(gè)月有五個(gè)星期日． 3．略 4．259980 5．大班每人分得18個(gè)橘子,；小班有25人． 6．共有55種不同的連法

1.【解】如圖所示．設(shè)小鎮(zhèn)為d點(diǎn),，傍晚到達(dá)e點(diǎn)，f為ab中點(diǎn).

ad是ac的三分之一,，即dc＝2×ad,，eb是ce的二分之一，即ce＝2×eb,，所以de＝dc＋ce＝2×(ad十eb)

已知de＝400,，所以ad＋eb＝400÷2＝200，從而ab＝400＋200＝600(千米)

答：a,、b兩市相距600千米

【注】本題中,，“計(jì)劃上午比下午多走100千米”這一條件是多余的

2.【解】(a)1995年1月1日是星期日，1995年全年有365天,，每7天有且僅有一個(gè)星期日7×52＝364,，因此，從1995年1 11 2日到1995年12月31日．這364天中有52個(gè)星期日,，加上1995年1月1日這個(gè)星期日,，共是53個(gè)星期日.

最小的月有28天，最大的月有31天,，因此無論哪個(gè)月都最少有4個(gè)星期日,，最多有5個(gè)星期日.53＝12×4＋5，因此,，1995年中有五個(gè)月有五個(gè)星期日.

(b)1995年1月1日是星期日,，經(jīng)過364天后，1995年12月31日也是星期日.所以1996年1月1日是星期一.1996年是閏年,，2月有29天,，經(jīng)過364天后，1996年12月30日是星期一,，所以1996年全年共有52個(gè)星期日,，全年只有四個(gè)月有五個(gè)星期日.

3.【解】我們可以把乙班同學(xué)分成三部分，第一部分為與甲班相同編號(hào)的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為15人）,，第二部分為與丙班相同編號(hào)的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為9人）,，其余為第三部分.設(shè)a同學(xué)屬于第三部分,，他與甲班相同編號(hào)的同學(xué)通性，與丙班相同編號(hào)的同學(xué)也為同性,，所以,，與a相同編號(hào)的甲班和丙班同學(xué)必為同性.由此可知，甲,、丙兩班比賽時(shí),，男、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)不會(huì)超過24.只有當(dāng)與乙班第一部分相同編號(hào)的丙班同學(xué)均與乙班同學(xué)同性,，并且與乙班第二部分相同編號(hào)的甲班同學(xué)也均與乙班同學(xué)同性時(shí),，甲、丙兩班比賽中,，男,、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)正好是24.

4.【解】千位數(shù)字是1的有4×3×2＝24個(gè)(因?yàn)榘傥粩?shù)字可從0、2,、3,、4中選擇，有4種,，百位確定后,，十位有3種選擇，百位,，十位確定后,，個(gè)位有2種選擇)．千位數(shù)字是2、3,、4的也有24種,。

百位數(shù)字是1的有3×3×2＝18個(gè)(因?yàn)榍粩?shù)字可從2、3,、4中選擇,，有3種。千位確定后,，十位數(shù)字也有3種選擇(可以為0),，千位、十位確定后,，個(gè)位數(shù)字有兩種選擇)百位數(shù)字是2,、3,、4的也有18個(gè),。同樣，十位數(shù)字,、個(gè)位數(shù)字是1,、2,、3,、4的也各有18個(gè) 因此，所求的和是(1000＋2000＋3000＋4000)×24＋18×(1＋2＋3＋4)×(1＋10＋100)＝259980

5.【解】第一步,，估計(jì)全園人數(shù)的上界

因?yàn)樾“嗳藬?shù)少于中班27人,，最多為26人所以大班最多為32人,，全園人數(shù)最多為26＋27＋32＝85(人)．

第二步,，計(jì)算中班每人分得的橘子數(shù)．

假如大班每人拿出一個(gè)橘子，小班每人多分一個(gè)橘子,，全園小朋友每人分得橘子一樣多,，還余6個(gè)因此19＞中班每人分得橘子數(shù)＝＞＞14.6

所以中班每人分得橘子數(shù)只可能是15，16,，17,，18.

橘子總數(shù)的個(gè)位數(shù)是7，(橘子總數(shù)－6)的個(gè)位數(shù)字是1,，所以(全園人數(shù)×中班每人分得橘子教)的個(gè)位數(shù)字是1.因此,，中班分得橘子數(shù)不能是15，16,，18,，只能是17.

第三步，計(jì)算全園人數(shù) 85≥全園人數(shù)＝＞＞73.

再由(全園人數(shù)×17)的個(gè)位數(shù)字是1,，可知全園人數(shù)的個(gè)位數(shù)字是3,，從而：全園人數(shù)＝83(人)

第四步，計(jì)算小班人數(shù)

大班人數(shù)＋小班人數(shù)＝83－27＝56(人),，大班人數(shù)一小班人數(shù)＝6(人)

所以小班人數(shù)＝＝25(人)

答：大班每人分得18個(gè)橘子,，小班有25人.

6.【解】我們采用遞推的'方法

(1)如果圃上只有3個(gè)點(diǎn)；那么只有一種連法

(2)如果圓上有6個(gè)點(diǎn),，除點(diǎn)所在三角形的三頂點(diǎn)外,，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在所在三角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法,

表1:

共有3種連法

(3)如果圓上有9個(gè)點(diǎn),，考慮所在的三角形此時(shí),，其余的6個(gè)點(diǎn)可能分布在①所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上；②也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上,，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上,。在表2中用“＋”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的弧。如果是情形①,，則由(2),，這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；如果是情形②,，則由①,，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法.

表2

共有12種連法.

(4)最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn),。同樣考慮

①每三個(gè)點(diǎn)在所在三角形．剩下9個(gè)點(diǎn)的分布有三種可能，所在三角形的一條邊對(duì)應(yīng)的孤上,；②有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上,，另三點(diǎn)在另一段弧上；③9個(gè)點(diǎn)都在同一段孤上,。得到表3．

表3

共有12＋3＋3＋12＋3＋1＋3＋3＋3＋12＝55種 答：共有55種不同的連法

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