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華杯賽試題及答案解析 華杯賽試題及答案小高組篇一

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１．?dāng)z制組從a市到b市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到c市吃午飯，由于堵車,，中午才趕到一個小鎮(zhèn),，只行駛了原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn),，汽車趕了400千米,，傍晚才停下來休息，司機(jī)說,，再走從c市到這里路程的三分之一就到達(dá)目的地了.問:a,、b兩市相距多少千米？

2．問：（a）1995年全年有幾個星期日,？全年有幾個月有五個星期日,？

（b）1996年全年有幾個星期日？全年有幾個月有五個星期日,？

3． 甲、乙,、丙三個班人數(shù)相同,，在班之間舉行象棋比賽，將各班同學(xué)都按1,，2,，3，,，編號．當(dāng)兩個班比賽時,，具有相同編號的同學(xué)在同一臺對壘，在甲,、乙兩班 比賽時,，有15臺是男、女生對壘,；在乙,、丙兩班比賽時，有9臺是男,、女生對壘．試說明在甲,、丙兩班比賽時，男,、女生對壘的臺數(shù)不會超過24．什么情況下,， 正好是24？

4．用0,，1,，2，3,，4五個數(shù)字,，組成四位數(shù),，每個四位數(shù)中的數(shù)字不同（如1023，2341）,，求全體這樣的四位數(shù)之和．

5． 某幼兒園的小班人數(shù)最少,，中班有27人，大班比小班多6人,，春節(jié)分橘子25箱,，每箱橘子不超過60個，不少于50個,，橘子總數(shù)的個位數(shù)是7,，若每人分19 個，則橘子數(shù)不夠,，現(xiàn)在大班每人比中班每人多分一個,，中班每人比小班每人多分一個，剛好分完,，問這時大班每人分多少橘子,？小班有多少人？

6．一個圓周上有12個點,，,，，,，．以它們?yōu)轫旤c連三角形,，使每個點恰是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交．問有多少種連法,？

1．a(chǎn),，b兩市相距600千米 2．（a）1995年共有53個星期日，全年有五個月有五個星期日,，（b）1996年共有52個星期日,，全年只有四個月有五個星期日． 3．略 4．259980 5．大班每人分得18個橘子；小班有25人． 6．共有55種不同的連法

1.【解】如圖所示．設(shè)小鎮(zhèn)為d點,，傍晚到達(dá)e點,，f為ab中點.

ad是ac的三分之一，即dc＝2×ad,，eb是ce的二分之一,，即ce＝2×eb，所以de＝dc＋ce＝2×(ad十eb)

已知de＝400,，所以ad＋eb＝400÷2＝200,，從而ab＝400＋200＝600(千米)

答：a、b兩市相距600千米

【注】本題中，“計劃上午比下午多走100千米”這一條件是多余的

2.【解】(a)1995年1月1日是星期日,，1995年全年有365天,，每7天有且僅有一個星期日7×52＝364，因此,，從1995年1 11 2日到1995年12月31日．這364天中有52個星期日,，加上1995年1月1日這個星期日，共是53個星期日.

最小的月有28天,，最大的月有31天,，因此無論哪個月都最少有4個星期日，最多有5個星期日.53＝12×4＋5,，因此,，1995年中有五個月有五個星期日.

(b)1995年1月1日是星期日，經(jīng)過364天后,，1995年12月31日也是星期日.所以1996年1月1日是星期一.1996年是閏年,，2月有29天，經(jīng)過364天后,，1996年12月30日是星期一,，所以1996年全年共有52個星期日，全年只有四個月有五個星期日.

3.【解】我們可以把乙班同學(xué)分成三部分,，第一部分為與甲班相同編號的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為15人），第二部分為與丙班相同編號的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為9人）,，其余為第三部分.設(shè)a同學(xué)屬于第三部分,，他與甲班相同編號的同學(xué)通性，與丙班相同編號的同學(xué)也為同性,，所以,，與a相同編號的甲班和丙班同學(xué)必為同性.由此可知，甲,、丙兩班比賽時,，男、女生對壘的臺數(shù)不會超過24.只有當(dāng)與乙班第一部分相同編號的丙班同學(xué)均與乙班同學(xué)同性,，并且與乙班第二部分相同編號的甲班同學(xué)也均與乙班同學(xué)同性時,，甲、丙兩班比賽中,，男,、女生對壘的臺數(shù)正好是24.

4.【解】千位數(shù)字是1的有4×3×2＝24個(因為百位數(shù)字可從0、2,、3,、4中選擇，有4種，百位確定后,，十位有3種選擇,，百位，十位確定后,，個位有2種選擇)．千位數(shù)字是2,、3、4的也有24種,。

百位數(shù)字是1的有3×3×2＝18個(因為千位數(shù)字可從2,、3、4中選擇,，有3種,。千位確定后，十位數(shù)字也有3種選擇(可以為0),，千位,、十位確定后，個位數(shù)字有兩種選擇)百位數(shù)字是2,、3,、4的也有18個。同樣,，十位數(shù)字,、個位數(shù)字是1、2,、3,、4的也各有18個 因此，所求的和是(1000＋2000＋3000＋4000)×24＋18×(1＋2＋3＋4)×(1＋10＋100)＝259980

5.【解】第一步,，估計全園人數(shù)的上界

因為小班人數(shù)少于中班27人,，最多為26人所以大班最多為32人，全園人數(shù)最多為26＋27＋32＝85(人)．

第二步,，計算中班每人分得的橘子數(shù)．

假如大班每人拿出一個橘子,，小班每人多分一個橘子，全園小朋友每人分得橘子一樣多,，還余6個因此19＞中班每人分得橘子數(shù)＝＞＞14.6

所以中班每人分得橘子數(shù)只可能是15,，16，17,，18.

橘子總數(shù)的個位數(shù)是7,，(橘子總數(shù)－6)的個位數(shù)字是1，所以(全園人數(shù)×中班每人分得橘子教)的個位數(shù)字是1.因此,，中班分得橘子數(shù)不能是15,，16,，18，只能是17.

第三步,，計算全園人數(shù) 85≥全園人數(shù)＝＞＞73.

再由(全園人數(shù)×17)的個位數(shù)字是1,，可知全園人數(shù)的個位數(shù)字是3，從而：全園人數(shù)＝83(人)

第四步,，計算小班人數(shù)

大班人數(shù)＋小班人數(shù)＝83－27＝56(人),，大班人數(shù)一小班人數(shù)＝6(人)

所以小班人數(shù)＝＝25(人)

答：大班每人分得18個橘子，小班有25人.

6.【解】我們采用遞推的'方法

(1)如果圃上只有3個點,；那么只有一種連法

(2)如果圓上有6個點,，除點所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在所在三角形的一條邊所對應(yīng)的圓弧上,，表1給出這時有可能的連法,

表1:

共有3種連法

(3)如果圓上有9個點,，考慮所在的三角形此時，其余的6個點可能分布在①所在三角形的一個邊所對的弧上,；②也可能三個點在一個邊所對應(yīng)的弧上,，另三個點在另一邊所對的弧上。在表2中用“＋”號表示它們分布在不同的邊所對的弧,。如果是情形①,，則由(2)，這六個點有三種連法,；如果是情形②,，則由①，每三個點都只能有一種連法.

表2

共有12種連法.

(4)最后考慮圓周上有12個點,。同樣考慮

①每三個點在所在三角形．剩下9個點的分布有三種可能,，所在三角形的一條邊對應(yīng)的孤上；②有6個點是在一段弧上,，另三點在另一段弧上；③9個點都在同一段孤上,。得到表3．

表3

共有12＋3＋3＋12＋3＋1＋3＋3＋3＋12＝55種 答：共有55種不同的連法

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