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分式函數(shù)怎么解(五篇)

格式:DOC 上傳日期:2023-01-11 11:04:53
分式函數(shù)怎么解(五篇)
時間:2023-01-11 11:04:53     小編:zdfb

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分式函數(shù)怎么解篇一

專題12分式函數(shù)2011.7

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1,、熟悉分式函數(shù)的代數(shù)和幾何特征,掌握分式函數(shù)的單調(diào)性,、最值的求法,;

2、能數(shù)形結(jié)合地處理分式函數(shù),、基本不等式等相關(guān)的問題.【例題選講】

例1 已知函數(shù)y?b

x?a(為常數(shù),,且a?0,b?0),,求

(1)圖像所經(jīng)過的象限,;

(2)它的對稱中心;

(3)單調(diào)區(qū)間.例2 討論f(x)?ax?b

x(a?0,b?r,b?0)的單調(diào)性.(1)設(shè)x?1,,求函數(shù)f(x)?x

2例2x?3的最大值,;

(2)函數(shù)f(x)?2 x2

(3)函數(shù)y??2

x在[1,3]上的最大值與最小值,;

(4)若不等式x2?ax?1?0對于x?(0,12)恒成立,求a的范圍.【課后習(xí)題】

1,、函數(shù)y?2x?

1x?3的值域為__________.2,、函數(shù)f(x)?x?a

x(a?0)的單調(diào)遞增區(qū)間__________.3、函數(shù)f(x)?x?m

m?1?x的對稱中心是(3,n),,則m?2n?________.4,、函數(shù)y?b

x?a(a、b為常數(shù),,且a?0,,b?0)的圖像所經(jīng)過的象限是__________.5、設(shè)x?1,,則函數(shù)f(x)?x

2x?1的最小值是___________.6,、已知f(x)?x?

52x?m的圖像是直線y?x對稱,則m?__________.7,、設(shè)函數(shù)f(x)??x

1?|x|(x?r),,區(qū)間m?[a,b],集合n?{y|y?f(x),x?m},,則使m?n成立的實數(shù)對(a,b)有________個.8,、設(shè)函數(shù)f(x)?2x?

1x?1(x?0),則f(x)()

a.有最大值,;b.有最小值,;c.是增函數(shù),;d.是減函數(shù).9,、函數(shù)y?x

x?1(x??1)的反函數(shù)是()

a.y?x b.y??x

x?1(x?1);x?1(x?1),;

c.y?x?

1x(x?0),;d.y?1?x

x(x?0).10、關(guān)于問題“函數(shù)f(x)?

x(???

??)的最大值,、最小值與函數(shù)

g(x)?x?z)的最大值與最小值”,,下列說法正確的是()

a.f(x)有最大、最小值,,g(x)有最大,、最小值;

b.f(x)有最大,、最小值,,g(x)無最大、最小值,;

c.f(x)無最大,、最小值,g(x)有最大、最小值,;

d.f(x)無最大,、最小值,g(x)無最大,、最小值.-2-

11,、設(shè)x?

0,若函數(shù)f(x)?a的取值范圍并求出此最小值.12,、設(shè)f(x)?x?a

x?1(a?r),,x?[0,??),求f(x)的最小值.13,、已知函數(shù)f(x)?x2?a

x(x?0,a?r),,(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;

(2)若f(x)在區(qū)間[2,??)是增函數(shù),,求實數(shù)a的取值范圍.14,、若函數(shù)f(x)?x?2

x?1的圖像是由函數(shù)y?g(x)的圖像由右平移2個單位,再向下平移

1個單位所得

求:(1)函數(shù)g(x)的解析式,;(2)y?g(x)的對稱中心.

分式函數(shù)怎么解篇二

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題(文)

分式函數(shù)

2x?11.函數(shù)f?x??x的值域為2?1

說明:引出分式函數(shù)基本做法,,突出對勾形式函數(shù)f(x)?x?

質(zhì)。

2.(浙江卷文8)若函數(shù)f(x)?x?2a(a?r)的圖象與基本性xa(a?r),,則下列結(jié)論正確的是x

a.?a?r,,f(x)在(0,??)上是增函數(shù)

b.?a?r,f(x)在(0,??)上是減函數(shù)

c.?a?r,,f(x)是偶函數(shù)

d.?a?r,,f(x)是奇函數(shù)

t2?4t?13.【2010·重慶文數(shù)】已知t?0,則函數(shù)y?的最小值為____________.t

x2?3x?3,(x??1)的值域為變式練習(xí):①函數(shù)f?x??x?1

②函數(shù)f?x??

③函數(shù)f?x??

4.【2010·天津文數(shù)】設(shè)函數(shù)f(x)=x-

則實數(shù)m的取值范圍是________.?x?y?2?05.動點p(a,b)在不等式組?表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動,,則??a?b?3的取值范圍?x?y?0a?1?y?0?x?1,(x??1)的值域為2x?3x?3sinx?cosx?1???,x??0,?的值域為2sinxcosx?2?1,對任意x?[1,??),,f(mx)+mf(x)<0恒成立,x

是.

例題1:經(jīng)市場調(diào)查,,某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計),,日旅游人數(shù)f(t)(萬人)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)?4?1,人均消費(fèi)g(t)(元)與時間(的函數(shù)關(guān)系近似滿足g(t)?115?|t?15|.t天)

t

(?。┣笤摮鞘械穆糜稳帐找鎤(t)(萬元)與時間t(1?t?30,t?n)的函數(shù)關(guān)系式,;

(ⅱ)求該城市旅游日收益的最小值(萬元)

例題2:【2010·江蘇卷】將邊長為1m正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,,2(梯形的周長)其中一塊是梯形,,記s?,求s的最小值。梯形的面積

【解析】考查函數(shù)中的建模應(yīng)用,,等價轉(zhuǎn)化思想,,一題多解.設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x,,則:s?2(3?x)2

?(0?x?1)21?x方法一:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值

.(3?x)2(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x),s?(x)? s(x)?222(1?

x)1?

x(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)?2(3x?1)(x?3)??2222(1?x)(1?x)1s?(x)?0,0?x?1,x?,,3

11當(dāng)x?(0,]時,,s?(x)?0,遞減;當(dāng)x?[,1)時,,s?(x)?0,遞增,; 33

故當(dāng)x?1時,s的最小值是,。33

方法二:利用函數(shù)的方法求最小值.t211112?令3?x?t,t?(2,3),?

(,),,則:s? 86t32?t?6t?8???1t2t

故當(dāng)?

1t31,x?時,s

.83

分式函數(shù)怎么解篇三

關(guān)于y=f(x)=x^2/1+x^2函數(shù)求值問題

如果記y=x^2/1+x^2=f(x),,并且f(1)表示當(dāng)x=1時y的值,,即f(1)=1^2/1+1^2=1/2;f(1/2)表示當(dāng)x=1/2時y的值,,即f(1/2)=(1/2)^2/1+(1/2)^2=1/5,,求f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+……+f(n)+f(1/n)的值(結(jié)果用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù))

解:

因為f(x)=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+……+f(n)+f(1/n)

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2

分式函數(shù)怎么解篇四

分式函數(shù)值域解法匯編

甘肅省定西工貿(mào)中專文峰分校 張占榮

函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識的交匯點,,是數(shù)學(xué)思想,,數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的載體,是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點,,還是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的切入點,,因此函數(shù)便理所當(dāng)然地成為了歷年高考的重點與熱點,考查函數(shù)的定義域,、值域,、單調(diào)性、奇偶性,、反函數(shù)以及函數(shù)圖象,。而對函數(shù)值域的考查或是單題形式出現(xiàn),,但更多的是以解題的一個環(huán)節(jié)形式出現(xiàn),,其中求分式函數(shù)的值域更是學(xué)生失分較大知識點之一。為此,,如何提高學(xué)生求分式函數(shù)值域的能力,,是函數(shù)教學(xué)和復(fù)習(xí)中較為重要的一環(huán),值得探討,。下面就本人對分式函數(shù)值域的教學(xué)作如下探究,,不餒之處、敬請同仁指教,。

一,、相關(guān)概念

函數(shù)值是指在函數(shù)y=f(x)中,,與自變量x的值對應(yīng)的y值。

函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合,,是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合,。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定;當(dāng)函數(shù)由實際問題給出時,,函數(shù)的值域由問題的實際意義確定,。

分式函數(shù)是指函數(shù)解析式為分式形式的函數(shù)。

二,、分式函數(shù)的類型及值域解法

類型一:一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x(或參數(shù))的一次函數(shù)的分式函數(shù),。

1.y=(a0)型

例1 求函數(shù)y=的值域。

解法一:常數(shù)分離法,。將y=轉(zhuǎn)化為y=(k1,k2為常數(shù)),,則yk1 解:∵y==,∴

y,。

解法二:反函數(shù)法,。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域,,得到原函數(shù)的值域,。

解:反解y=得x=,對調(diào) y=(x),,∴函數(shù)y=的值域為

y,。

2.y=(a0)型

分析:這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù),由于含三角函數(shù),,不易直接解出x,,但其有一個特點:只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名??梢钥紤]借助三角函數(shù)值域解題,,其實質(zhì)跟y=(t=sinx)在t的指定區(qū)間上求值域類似。

即:將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1,,解之即可,。

例2 求函數(shù)y=的值域。

解:由y=得,,sinx=,,∵-1≤sinx≤1,∴-1≤≤1,,解之得≤y≤3,。

3.y=或y=(a0)型

分析:這道題不僅含有三角函數(shù),且三角函數(shù)不同,,例2解法行不通,,但反解之后會出現(xiàn)正,、余弦的和、差形式,,故可考慮用疊加法,。

即:去分母以后,利用疊加公式和|sinx|≤1解題,。

例3 求函數(shù)y=

解:∵2cosx+100,,∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域,。

∴, 其中,,由∴和,整理得8y+5y≤0。2得,,∴≤y≤0 即原函數(shù)的值域為[,,0]。

總結(jié):求一次分式函數(shù)的值域,,首先要看清楚是在整個定義域內(nèi),,還是在指定區(qū)間上;其次用反函數(shù)法解題,;再次還要注意含三角函數(shù)的分式函數(shù),,其實質(zhì)是在指定區(qū)間上求分式函數(shù)的值域。

類型二:二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關(guān)于x的二次函數(shù),。由于出現(xiàn)了x2項,,直接反解x的方法行不通。但我們知道,,不等式,、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系,,可以相互轉(zhuǎn)化,。所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來解題。

1.y=(a,、d不同時為0),,x∈r型

分析:去分母后,可將方程看作是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,。由于函數(shù)的定義域并非空集,,所以方程一定有解,,≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域,。

≥0(=f(y)),即:用判別式法。先去分母,,得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式

即可求出值域,。

例4 求函數(shù)y=的值域,。

解:由y=得yx2-3x+4y=0。

當(dāng)y=0時,,x=0,,當(dāng)y≠0時,由△≥0得-

∵函數(shù)定義域為r,,≤y≤,。

∴函數(shù)y=的值域為[-,],。

說明:判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi),,但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域,否則就會放大值域,。

2.y=(a,、d不同時為0),指定的區(qū)間上求值域型,。

例5 求(x<)的值域,。

分析:因為x<,所以若用判別式法,,可能會放大其值域,。可以考慮使用均值定理解題,。解:∵x<,,∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2,,∴原函數(shù)的值域為,。-4

例6 求的值域。

錯解:=≥2,。

分析:在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定,、二正、三相等”,,顯然上述解法中和不能相等,,“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理,。但若用判別式法又無法解決根式問題,,此時可考慮借函數(shù)的單調(diào)性求值域。

解:用單調(diào)性法

=,,令=t,,顯然t≥2,則y=t

+(t≥2),,任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+,,f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-),,∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0,∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0,。

∴f(t1)< f(t2),,即函數(shù)y=t+ 在t≥2上單調(diào)遞增。

∴當(dāng)t=

2,、即=

2,、x=0時,ymin

=,,∴原函數(shù)的值域為,。

總結(jié):不管是求一次分式函數(shù),還是求二次分式函數(shù)的值域,,都必須注意自變量的取值范圍,。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng),但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法,。若失去同一類前提,,只強(qiáng)調(diào)通解通法,便是空中樓閣,。故要因題而論,,就事論事,防止一概而論的錯誤,,用辯證和發(fā)展的眼光看待問題,,這樣才會起到事半功倍的效果。

三,、提煉知識,,總結(jié)分式函數(shù)值域解法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點之一,它沒有固定的方法和模式,。但我們可以針對不同的題型進(jìn)行歸類總結(jié),,盡最大可能地尋找不同類型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有:

1.反函數(shù)法,。反函數(shù)法是求一次分式函數(shù)的基本方法,,是利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域,,得到原函數(shù)的值域,。但要注意看清楚是在整個定義域內(nèi),還是在指定區(qū)間上求值域,。

2.判別式法,。判別式法是求二次分式函數(shù)的基本方法之一,即先去分母,把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x,,y)=0,,因為方程有實根,,所以判別式△≥0,,通過解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi),。

3.不等式法,。不等式法是利用基本不等式:a+b≥2(a、b∈r+),,是在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一,,當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時可考慮用不等式法。用不等式法求值域,,要注意均值不等式的使用條件:“一正,、二定、三相等”,。

4.換元法,。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)(如三角函數(shù))時,,可考慮用換元法,,將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域,。要注意換元后自變量的取值范圍,。

5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法,。

另外,,還可以根據(jù)函數(shù)的特點,利用數(shù)形結(jié)合或求導(dǎo)數(shù)的方法求分式函數(shù)的值域,。由于這些方法不是很常用,,在此就不多做說明

分式函數(shù)怎么解篇五

東莞市莞城藍(lán)天名師課外輔導(dǎo)中心

7、對勾函數(shù)y?x?

a

0),(0,,??)上為增函數(shù) 是奇函數(shù),a?0時,在區(qū)間(??,,x

a?0時,在(0a],[?a,0)遞減 在(??,?a],[,??)遞增

8.分式函數(shù)

典例分析

1.(2007海南,、寧夏理)設(shè)函數(shù)f(x)?2.(2009重慶卷理)若f(x)?3若函數(shù)h(x)?2x?

a.[?2,??)

(x?1)(x?a)

為奇函數(shù),,則a?.

x

?a是奇函數(shù),則a?. 2x?

1()

kk

?在(1,??)上是增函數(shù),,則實數(shù)k的取值范圍是 x

3b.[2,??)

c.(??,?2]

d.(??,2]

4.(2009全國卷ⅱ理)曲線y?

x

在點?1,1?處的切線方程為 2x?1

a.x?y?2?0b.x?y?2?0c.x?4y?5?0d.x?4y?5?0

ax?1?4?

a???的圖象關(guān)于直線y?x對稱,,則a=。

4x?5?5?

x

2(x?r)的值域是 6.(2007浙江文)函數(shù)y?2

x?1

7.(2002全國理科)函數(shù)

y?1?的圖象是()

5.若函數(shù)y?

ex?e?x(2009山東)函數(shù)y?x的圖像大致為().?x

e?e

d

a

9.(12分)函數(shù)f(x)?2x?

a的定義域為(0,1](a為實數(shù)).x

(1)當(dāng)a??1時,求函數(shù)y?f(x)的值域,;

(2)若函數(shù)y?f(x)在定義域上是減函數(shù),,求a的取值范圍;

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10.(13分)已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)?x?解析式(2)若g(x)=f(x)+

1?2的圖象關(guān)于點a(0,,1)對稱.(1)求函數(shù)f(x)的xa,,且g(x)在區(qū)間(0,2]上的值不小于6,,求實數(shù)a的取值范圍.x

x?a(a,、b為常數(shù)).x?b

⑴若b?1,解關(guān)于x的不等式f(x?1)?0,;

5⑵當(dāng)x?[?1,2],,f(x)的值域為[,2],求a,、b的值.411,、(2009重慶八中)已知函數(shù)f(x)?

x2?(1?p)x?p(p?0)

12、(2009西南師大附中)已知f(x)?2x?p

(1)若p > 1時,,解關(guān)于x的不等式f(x)?0,;

(2)若f(x)?2對2?x?4時恒成立,求p的范圍.

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