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分式函數(shù)求導(dǎo)篇一

如果記y=x^2/1+x^2=f（x）,，并且f（1）表示當(dāng)x=1時(shí)y的值,，即f（1）=1^2/1+1^2=1/2；f（1/2）表示當(dāng)x=1/2時(shí)y的值,，即f（1/2）=（1/2）^2/1+（1/2）^2=1/5,，求f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）的值（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示,，n為正整數(shù)）

解：

因?yàn)閒（x）=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2

分式函數(shù)求導(dǎo)篇二

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7,、對(duì)勾函數(shù)y?x?

a

0),(0，??)上為增函數(shù) 是奇函數(shù),a?0時(shí),在區(qū)間(??,，x

a?0時(shí),在(0a],[?a,0)遞減 在(??,，?a],[,??)遞增

8.分式函數(shù)

典例分析

1．(2007海南、寧夏理)設(shè)函數(shù)f(x)?2．（2009重慶卷理）若f(x)?3若函數(shù)h(x)?2x?

a．[?2,??)

(x?1)(x?a)

為奇函數(shù),，則a?．

x

?a是奇函數(shù),，則a?． 2x?

1（）

kk

?在(1,??)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 x

3b．[2,??)

c．(??,?2]

d．(??,2]

4.（2009全國(guó)卷ⅱ理）曲線y?

x

在點(diǎn)?1,1?處的切線方程為 2x?1

a.x?y?2?0b.x?y?2?0c.x?4y?5?0d.x?4y?5?0

ax?1?4?

a???的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱(chēng),，則a=,。

4x?5?5?

x

2(x?r)的值域是 6.（2007浙江文）函數(shù)y?2

x?1

7.（2002全國(guó)理科）函數(shù)

y?1?的圖象是（）

5.若函數(shù)y?

ex?e?x(2009山東)函數(shù)y?x的圖像大致為().?x

e?e

d

a

9.（12分）函數(shù)f(x)?2x?

a的定義域?yàn)?0,1]（a為實(shí)數(shù)）.x

（1）當(dāng)a??1時(shí)，求函數(shù)y?f(x)的值域,；

（2）若函數(shù)y?f(x)在定義域上是減函數(shù),，求a的取值范圍；

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10.（13分）已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)?x?解析式（2）若g(x)=f(x)+

1?2的圖象關(guān)于點(diǎn)a（0,，1）對(duì)稱(chēng).（1）求函數(shù)f(x)的xa,，且g(x)在區(qū)間（0，2]上的值不小于6,，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x

x?a（a,、b為常數(shù)）.x?b

⑴若b?1，解關(guān)于x的不等式f(x?1)?0,；

5⑵當(dāng)x?[?1,2],，f(x)的值域?yàn)閇,2]，求a,、b的值.411,、（2009重慶八中）已知函數(shù)f(x)?

x2?(1?p)x?p(p?0)

12,、（2009西南師大附中）已知f(x)?2x?p

（1）若p > 1時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)?0,；

（2）若f(x)?2對(duì)2?x?4時(shí)恒成立,，求p的范圍．

分式函數(shù)求導(dǎo)篇三

分式函數(shù)值域解法匯編

甘肅省定西工貿(mào)中專(zhuān)文峰分校 張占榮

函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識(shí)的交匯點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思想,，數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的載體,，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，還是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的切入點(diǎn),，因此函數(shù)便理所當(dāng)然地成為了歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),，考查函數(shù)的定義域、值域,、單調(diào)性,、奇偶性、反函數(shù)以及函數(shù)圖象,。而對(duì)函數(shù)值域的考查或是單題形式出現(xiàn),，但更多的是以解題的一個(gè)環(huán)節(jié)形式出現(xiàn)，其中求分式函數(shù)的值域更是學(xué)生失分較大知識(shí)點(diǎn)之一,。為此,，如何提高學(xué)生求分式函數(shù)值域的能力，是函數(shù)教學(xué)和復(fù)習(xí)中較為重要的一環(huán),，值得探討,。下面就本人對(duì)分式函數(shù)值域的教學(xué)作如下探究，不餒之處,、敬請(qǐng)同仁指教,。

一、相關(guān)概念

函數(shù)值是指在函數(shù)y＝f(x)中,，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y值,。

函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合,。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定,；當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定,。

分式函數(shù)是指函數(shù)解析式為分式形式的函數(shù),。

二、分式函數(shù)的類(lèi)型及值域解法

類(lèi)型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x（或參數(shù)）的一次函數(shù)的分式函數(shù),。

1.y=(a0)型

例１ 求函數(shù)y=的值域,。

解法一：常數(shù)分離法。將y=轉(zhuǎn)化為y=（k1,k2為常數(shù)），則yk1 解：∵y==,，∴

y,。

解法二：反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系,，通過(guò)求反函數(shù)的定義域,，得到原函數(shù)的值域。

解：反解y=得x=,，對(duì)調(diào) y=（x),，∴函數(shù)y=的值域?yàn)?/p>

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù),，由于含三角函數(shù),，不易直接解出x，但其有一個(gè)特點(diǎn)：只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名,?？梢钥紤]借助三角函數(shù)值域解題，其實(shí)質(zhì)跟y=（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類(lèi)似,。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1,，解之即可。

例２ 求函數(shù)y=的值域,。

解：由y=得,，sinx=,，∵-1≤sinx≤1,，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3,。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數(shù),，且三角函數(shù)不同，例2解法行不通,，但反解之后會(huì)出現(xiàn)正,、余弦的和、差形式,，故可考慮用疊加法,。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題,。

例３ 求函數(shù)y=

解：∵2cosx+100,，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域,。

∴, 其中,，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數(shù)的值域?yàn)閇,，0],。

總結(jié)：求一次分式函數(shù)的值域，首先要看清楚是在整個(gè)定義域內(nèi),，還是在指定區(qū)間上,；其次用反函數(shù)法解題；再次還要注意含三角函數(shù)的分式函數(shù),，其實(shí)質(zhì)是在指定區(qū)間上求分式函數(shù)的值域,。

類(lèi)型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項(xiàng)至少有一項(xiàng)是關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項(xiàng),，直接反解x的方法行不通,。但我們知道，不等式,、函數(shù),、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化,。所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來(lái)解題,。

１.y=(a、d不同時(shí)為0),，x∈r型

分析：去分母后,，可將方程看作是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集,，所以方程一定有解,，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法,。先去分母,，得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式

即可求出值域。

例４ 求函數(shù)y=的值域,。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0,。

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝0,，當(dāng)y≠0時(shí),，由△≥0得-

∵函數(shù)定義域?yàn)閞，≤y≤,。

∴函數(shù)y＝的值域?yàn)閇-,，]。

說(shuō)明：判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi),，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域,，否則就會(huì)放大值域,。

2.y=(a、d不同時(shí)為0),，指定的區(qū)間上求值域型,。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因?yàn)閤<,，所以若用判別式法,，可能會(huì)放大其值域?？梢钥紤]使用均值定理解題,。解：∵x<，∴5-4x>0,>0,。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2,，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?4

例６ 求的值域。

錯(cuò)解：=≥2,。

分析：在使用均值定理時(shí)一定要注意使用條件“一定,、二正、三相等”,，顯然上述解法中和不能相等,，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理,。但若用判別式法又無(wú)法解決根式問(wèn)題,，此時(shí)可考慮借函數(shù)的單調(diào)性求值域。

解：用單調(diào)性法

=,，令=t,，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2),，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+,，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-),，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0,，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2),，即函數(shù)y=t+ 在t≥2上單調(diào)遞增,。

∴當(dāng)t=

2、即=

2,、x=0時(shí),，ymin

=，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

總結(jié)：不管是求一次分式函數(shù),，還是求二次分式函數(shù)的值域,，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng)，但一定要看到只有對(duì)一類(lèi)題才可以用通解通法,。若失去同一類(lèi)前提,，只強(qiáng)調(diào)通解通法，便是空中樓閣,。故要因題而論,，就事論事，防止一概而論的錯(cuò)誤,，用辯證和發(fā)展的眼光看待問(wèn)題,，這樣才會(huì)起到事半功倍的效果。

三,、提煉知識(shí),，總結(jié)分式函數(shù)值域解法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，它沒(méi)有固定的方法和模式,。但我們可以針對(duì)不同的題型進(jìn)行歸類(lèi)總結(jié),，盡最大可能地尋找不同類(lèi)型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數(shù)法,。反函數(shù)法是求一次分式函數(shù)的基本方法,，是利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域,，得到原函數(shù)的值域,。但要注意看清楚是在整個(gè)定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上求值域,。

2.判別式法,。判別式法是求二次分式函數(shù)的基本方法之一，即先去分母,，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x,，y)＝0，因?yàn)榉匠逃袑?shí)根,，所以判別式△≥0,，通過(guò)解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi),。

3.不等式法,。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈r＋),，是在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一,，當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時(shí)可考慮用不等式法。用不等式法求值域,，要注意均值不等式的使用條件：“一正,、二定,、三相等”。

4.換元法,。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法,。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)（如三角函數(shù)）時(shí)，可考慮用換元法,，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù),，從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍,。

5.單調(diào)性法,。單調(diào)性法是通過(guò)確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。

另外,，還可以根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn),，利用數(shù)形結(jié)合或求導(dǎo)數(shù)的方法求分式函數(shù)的值域。由于這些方法不是很常用,，在此就不多做說(shuō)明

分式函數(shù)求導(dǎo)篇四

12—分式函數(shù)

專(zhuān)題12分式函數(shù)2011.7

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1,、熟悉分式函數(shù)的代數(shù)和幾何特征，掌握分式函數(shù)的單調(diào)性,、最值的求法,；

2、能數(shù)形結(jié)合地處理分式函數(shù),、基本不等式等相關(guān)的問(wèn)題.【例題選講】

例1 已知函數(shù)y?b

x?a（為常數(shù),，且a?0，b?0）,，求

（1）圖像所經(jīng)過(guò)的象限,；

（2）它的對(duì)稱(chēng)中心；

（3）單調(diào)區(qū)間.例2 討論f(x)?ax?b

x（a?0,b?r,b?0）的單調(diào)性.（1）設(shè)x?1,，求函數(shù)f(x)?x

2例2x?3的最大值,；

（2）函數(shù)f(x)?2 x2

（3）函數(shù)y??2

x在[1,3]上的最大值與最小值；

（4）若不等式x2?ax?1?0對(duì)于x?(0,12)恒成立,，求a的范圍.【課后習(xí)題】

1,、函數(shù)y?2x?

1x?3的值域?yàn)開(kāi)_________.2、函數(shù)f(x)?x?a

x(a?0)的單調(diào)遞增區(qū)間__________.3,、函數(shù)f(x)?x?m

m?1?x的對(duì)稱(chēng)中心是(3,n),，則m?2n?________.4、函數(shù)y?b

x?a（a,、b為常數(shù)，且a?0,，b?0）的圖像所經(jīng)過(guò)的象限是__________.5,、設(shè)x?1,，則函數(shù)f(x)?x

2x?1的最小值是___________.6、已知f(x)?x?

52x?m的圖像是直線y?x對(duì)稱(chēng),，則m?__________.7,、設(shè)函數(shù)f(x)??x

1?|x|(x?r)，區(qū)間m?[a,b],，集合n?{y|y?f(x),x?m},，則使m?n成立的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)有________個(gè).8、設(shè)函數(shù)f(x)?2x?

1x?1(x?0),，則f(x)（）

a．有最大值,；b．有最小值；c．是增函數(shù),；d．是減函數(shù).9,、函數(shù)y?x

x?1(x??1)的反函數(shù)是（）

a．y?x b．y??x

x?1(x?1)；x?1(x?1),；

c．y?x?

1x(x?0),；d．y?1?x

x(x?0).10、關(guān)于問(wèn)題“函數(shù)f(x)?

x(???

??)的最大值,、最小值與函數(shù)

g(x)?x?z)的最大值與最小值”,，下列說(shuō)法正確的是（）

a．f(x)有最大、最小值,，g(x)有最大,、最小值；

b．f(x)有最大,、最小值,，g(x)無(wú)最大、最小值,；

c．f(x)無(wú)最大,、最小值，g(x)有最大,、最小值,；

d．f(x)無(wú)最大、最小值,，g(x)無(wú)最大,、最小值.-2-

11、設(shè)x?

0,，若函數(shù)f(x)?a的取值范圍并求出此最小值.12,、設(shè)f(x)?x?a

x?1(a?r)，x?[0,??),，求f(x)的最小值.13,、已知函數(shù)f(x)?x2?a

x(x?0,a?r),，（1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)在區(qū)間[2,??)是增函數(shù),，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.14,、若函數(shù)f(x)?x?2

x?1的圖像是由函數(shù)y?g(x)的圖像由右平移2個(gè)單位，再向下平移

1個(gè)單位所得

求：（1）函數(shù)g(x)的解析式,；（2）y?g(x)的對(duì)稱(chēng)中心.

分式函數(shù)求導(dǎo)篇五

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題（文）

分式函數(shù)

2x?11．函數(shù)f?x??x的值域?yàn)??1

說(shuō)明：引出分式函數(shù)基本做法,，突出對(duì)勾形式函數(shù)f(x)?x?

質(zhì)。

2．（浙江卷文8）若函數(shù)f(x)?x?2a(a?r)的圖象與基本性xa(a?r),，則下列結(jié)論正確的是x

a．?a?r,，f(x)在(0,??)上是增函數(shù)

b．?a?r，f(x)在(0,??)上是減函數(shù)

c．?a?r,，f(x)是偶函數(shù)

d．?a?r,，f(x)是奇函數(shù)

t2?4t?13．【2010·重慶文數(shù)】已知t?0，則函數(shù)y?的最小值為_(kāi)___________.t

x2?3x?3,(x??1)的值域?yàn)樽兪骄毩?xí)：①函數(shù)f?x??x?1

②函數(shù)f?x??

③函數(shù)f?x??

4．【2010·天津文數(shù)】設(shè)函數(shù)f(x)=x-

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.?x?y?2?05．動(dòng)點(diǎn)p(a,b)在不等式組?表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng),，則??a?b?3的取值范圍?x?y?0a?1?y?0?x?1,(x??1)的值域?yàn)?x?3x?3sinx?cosx?1???,x??0,?的值域?yàn)?sinxcosx?2?1,對(duì)任意x?[1,??）,，f(mx)+mf(x)<0恒成立，x

是．

例題1：經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,，某旅游城市在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）,，日旅游人數(shù)f(t)（萬(wàn)人）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)?4?1，人均消費(fèi)g(t)（元）與時(shí)間（的函數(shù)關(guān)系近似滿足g(t)?115?|t?15|.t天）

t

（?。┣笤摮鞘械穆糜稳帐找鎤(t)（萬(wàn)元）與時(shí)間t(1?t?30,t?n)的函數(shù)關(guān)系式,；

（ⅱ）求該城市旅游日收益的最小值（萬(wàn)元）

例題2：【2010·江蘇卷】將邊長(zhǎng)為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,，2(梯形的周長(zhǎng)）其中一塊是梯形,，記s?,求s的最小值。梯形的面積

【解析】考查函數(shù)中的建模應(yīng)用,，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,，一題多解.設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x，則：s?2(3?x)2

?(0?x?1)21?x方法一:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值

.(3?x)2(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x),，s?(x)? s(x)?222(1?

x)1?

x(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)?2(3x?1)(x?3)??2222(1?x)(1?x)1s?(x)?0,0?x?1,x?,，3

11當(dāng)x?(0,]時(shí)，s?(x)?0,遞減,；當(dāng)x?[,1)時(shí),，s?(x)?0,遞增； 33

故當(dāng)x?1時(shí),，s的最小值是,。33

方法二:利用函數(shù)的方法求最小值.t211112?令3?x?t,t?(2,3),?

(,)，則：s? 86t32?t?6t?8???1t2t

故當(dāng)?

1t31,x?時(shí)，s

.83