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1、設(shè)點p（x,，y）關(guān)于點（a,，b）對稱點為p（x，y）,，x=2a—x,。
由中點坐標公式可得：y=2b—y。
2,、點p（x,，y）關(guān)于直線l：ax+by+c=o的對稱點為：
x=x—（ax+by+c）
p（x，y）則
y=y—（ax+by+c）
事實上：∵ppl及pp的中點在直線l上,，可得：ax+by=—ax—by—2c,。
解此方程組可得結(jié)論。
（—）=—1（b0）,。
特別地,，點p（x，y）關(guān)于：
1,、x軸和y軸的對稱點分別為（x,，—y）和（—x，y）,。
2,、直線x=a和y=a的對標點分別為（2a—x，y）和（x,，2a—y）,。
3、直線y=x和y=—x的對稱點分別為（y,，x）和（—y,，—x）,。
例1光線從a（3，4）發(fā)出后經(jīng)過直線x—2y=0反射,，再經(jīng)過y軸反射,，反射光線經(jīng)過點b（1，5）,，求射入y軸后的反射線所在的直線方程,。
解：如圖，由公式可求得a關(guān)于直線x—2y=0的對稱點,。
a（5,，0），b關(guān)于y軸對稱點b為（—1,，5），直線ab的方程為5x+6y—25=0,。
`c（0,，）。
`直線bc的方程為：5x—6y+25=0,。
求已知曲線f（x,，y）=0關(guān)于已知點或已知直線的對稱曲線方程時，只須將曲線f（x,，y）=o上任意一點（x,，y）關(guān)于已知點或已知直線的對稱點的坐標替換方程f（x，y）=0中相應(yīng)的作稱即得,，由此我們得出以下結(jié)論,。
1、曲線f（x,，y）=0關(guān)于點（a,，b）的對稱曲線的方程是f（2a—x，2b—y）=0,。
2,、曲線f（x，y）=0關(guān)于直線ax+by+c=0對稱的曲線方程是f（x—（ax+by+c）,，y—（ax+by+c））=0,。
特別地，曲線f（x,，y）=0關(guān)于,。
（1）x軸和y軸對稱的曲線方程分別是f（x，—y）和f（—x,，y）=0,。
（2）關(guān)于直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是f（2a—x,，y）=0和f（x，2a—y）=0,。
（3）關(guān)于直線y=x和y=—x對稱的曲線方程分別是f（y,，x）=0和f（—y，—x）=0,。
除此以外還有以下兩個結(jié)論：對函數(shù)y=f（x）的圖象而言,，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象,，并作關(guān)于y軸的對稱圖象得到y(tǒng)=f（|x|）的圖象,；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f（x）|的圖象,。
例2（全國高考試題）設(shè)曲線c的方程是y=x3—x,。將c沿x軸y軸正向分別平行移動t，s單位長度后得曲線c1：
1）寫出曲線c1的方程,。
2）證明曲線c與c1關(guān)于點a（,，）對稱。
（1）解知c1的方程為y=（x—t）3—（x—t）+s,。
（2）證明在曲線c上任取一點b（a,，b），設(shè)b1（a1,，b1）是b關(guān)于a的對稱點,，由a=t—a1，b=s—b1,，代入c的方程得：
s—b1=（t—a1）3—（t—a1）,。
b1=（a1—t）3—（a1—t）+s。
b1（a1,，b1）滿足c1的方程,。
b1在曲線c1上，反之易證在曲線c1上的.點關(guān)于點a的對稱點在曲線c上,。
曲線c和c1關(guān)于a對稱,。
我們用前面的結(jié)論來證：點p（x，y）關(guān)于a的對稱點為p1（t—x,，s—y）,，為了求得c關(guān)于a的對稱曲線我們將其坐標代入c的方程，得：s—y=（t—x）3—（t—x）,。
y=（x—t）3—（x—t）+s,。
此即為c1的方程，`c關(guān)于a的對稱曲線即為c1,。
曲線f（x,，y）=0為（中心或軸）對稱曲線的充要條件是曲線f（x,，y）=0上任意一點p（x，y）（關(guān)于對稱中心或?qū)ΨQ軸）的對稱點的坐標替換曲線方程中相應(yīng)的坐標后方程不變,。
例如拋物線y2=—8x上任一點p（x,，y）與x軸即y=0的對稱點p（x，—y）,，其坐標也滿足方程y2=—8x,，`y2=—8x關(guān)于x軸對稱。
例3方程xy2—x2y=2x所表示的曲線：
a,、關(guān)于y軸對稱b,、關(guān)于直線x+y=0對稱。
c,、關(guān)于原點對稱d,、關(guān)于直線x—y=0對稱。
解：在方程中以—x換x,，同時以—y換y得,。
（—x）（—y）2—（—x）2（—y）=—2x，即xy2—x2y=2x方程不變,。
曲線關(guān)于原點對稱。
函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點的對稱問題我們有如下幾個重要結(jié)論：
1,、函數(shù)f（x）定義線為r,，a為常數(shù)，若對任意xr,，均有f（a+x）=f（a—x）,，則y=f（x）的圖象關(guān)于x=a對稱。
這是因為a+x和a—x這兩點分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對稱,，且其函數(shù)值相等,，說明這兩點關(guān)于直線x=a對稱，由x的任意性可得結(jié)論,。
例如對于f（x）若tr均有f（2+t）=f（2—t）則f（x）圖象關(guān)于x=2對稱,。若將條件改為f（1+t）=f（3—t）或f（t）=f（4—t）結(jié)論又如何呢？第一式中令t=1+m則得f（2+m）=f（2—m）,；第二式中令t=2+m,，也得f（2+m）=f（2—m），所以仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對稱,，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：
2,、函數(shù)f（x）定義域為r，a,、b為常數(shù),，若對任意xr均有f（a+x）=f（b—x）,，則其圖象關(guān)于直線x=對稱。
我們再來探討以下問題：若將條件改為f（2+t）=—f（2—t）結(jié)論又如何呢,？試想如果2改成0的話得f（t）=—f（t）這是奇函數(shù),，圖象關(guān)于（0，0）成中心對稱,，現(xiàn)在是f（2+t）=—f（2—t）造成了平移,，由此我們猜想，圖象關(guān)于m（2,，0）成中心對稱,。如圖，取點a（2+t,，f（2+t））其關(guān)于m（2,，0）的對稱點為a（2—x，—f（2+x））,。
∵—f（2+x）=f（2—x）`a的坐標為（2—x,，f（2—x））顯然在圖象上。
圖象關(guān)于m（2,，0）成中心對稱,。
若將條件改為f（x）=—f（4—x）結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：
3,、f（x）定義域為r,，a、b為常數(shù),，若對任意xr均有f（a+x）=—f（b—x）,，則其圖象關(guān)于點m（，0）成中心對稱,。
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