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高考數(shù)學不等式解題技巧 高考數(shù)學不等式專題訓練篇一

【例2】 心理學家研究某位學生的學習情況發(fā)現(xiàn)：若這位學生剛學完的知識存留量為1,，則x 天后的存留量y?1=4x+4,；若在t(t>0)天時進行第一次復習,，則此時這似乎存留量比未復習情況下增加一倍（復習的時間忽略不計），其后存留量y?2隨時間變化的曲線恰好為直線的一部分,，其斜率為a(t+4)?2(?a<?0),，存留量隨時間變化的曲線如圖所示。當進行第一次復習后的存留量與不復習的存留量相差最大時,，則稱此時刻為“二次復習最佳時機點”,。

（1） 若a=－1,t=5，求“二次復習最佳時機點”,；

（2） 若出現(xiàn)了“二次復習最佳時機點”,，求a的取值范圍。

分析 關(guān)鍵是分析圖像和理解題目所表示的含義,，建立函數(shù)關(guān)系,，再用基本不等式求最值。

解 設(shè)第一次復習后的存留量與不復習的存留量之差為y,，

由題意知,，y?2=a(t+4)?2(?x－?t)+8t+4(?t>?4),

所以y=y?2－y?1=a(t+4)?2(x－t)+8t+4－4x+4(t>4)。

當a=－1,t=5時,，

y=－1(5+4)?2(x－5)+85+4－4x+4

=－(x+4)81－4x+4+?1≤?－2481+1=59,，

當且僅當x=14 時取等號，所以“二次復習最佳時機點”為第14天．

(2) y=a(t+4)?2(x－t)+8t+4－4x+4?=－－a(x+4)(t+4)?2－?4x+4+8t+4－a(t+4)(t+4)?2?≤－2－4a(t+4)?2+?8－at+4,，當且僅當－a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2－a(t+4)－4 時取等號,，

由題意2－a(t+4)－4>t，所以－4

點評 基本不等式在每年的高考中幾乎是從不缺席的,，關(guān)鍵是要注意運用基本不等式的條件：一正,、二定、三相等,。

高考數(shù)學不等式解題技巧 高考數(shù)學不等式專題訓練篇二

【例3】 對于問題：“已知關(guān)于x的不等式ax?2+bx+c>0的解集為(－1,2),，解關(guān)于x的不等式ax?2－bx+c>0”，給出如下一種解法：

參考上述解法，若關(guān)于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為－1,－13∪12,1,，則關(guān)于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的解集為? ? ,。

分析 觀察發(fā)現(xiàn)ax?2+?bx+?c>0將x換成?－x得??a(－x)?2+?b(－x)+c>0，則解集也相應變化,，－x∈(－1,2),，則?x∈?(－2,1)，不等式kx+a+x+bx+c<0將x換成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+1<0,，故1x∈－1,－13∪12,1,，分析可得答案。

解 由ax?2+bx+c>0的解集為(－1,2),，得a(－x)?2+b(－x)+c>0的解集為(?－2?,1),，即關(guān)于x的不等式ax?2－bx+c>0的解集為(－2,1)。

若關(guān)于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為－1,?－13?∪12,1

則關(guān)于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的可看成kx+a+x+bx+c<0中的x用1x代入可得,，則有1x∈?－1?,－13∪12,1從而解得x∈(－3,?－1?)∪(1,2),故答案為(－3,－1)∪(1,2),。

點評 本題考查了類比推理，一元二次不等式以及分式不等式的求解,，通過已知條件發(fā)現(xiàn)規(guī)律,，屬于探究類創(chuàng)新題。

綜上所述,，不等式之所以成為高考中經(jīng)久不息考試熱點,，而且創(chuàng)意不斷常考常新．除了不等式的知識本身在中學數(shù)學中具有豐富的內(nèi)涵和突出的地位外,，與它和高等數(shù)學,、現(xiàn)實生活有著緊密的關(guān)系也是重要的原因之一．在高考命題中，追尋不等式與其他重點知識的新穎巧妙的組合以及與高等數(shù)學的相互聯(lián)系,，挖掘不等式在現(xiàn)實生活和科學研究中的廣泛應用,，把對數(shù)學思想方法和數(shù)學應用意識以及在全新的情景中對學生數(shù)學素養(yǎng)等的考查賦于不等式的考查之中，往往是高考對不等式考查的一個創(chuàng)新點,。

牛刀小試

1,。若a>0,b>0，且函數(shù)f(x)=4x?3－ax?2－2bx+2在x=1處有極值,，則ab的最大值等于．??

2． 關(guān)于x的不等式x?2－(a+1)x+a<0的所有整數(shù)解之和為27,，則實數(shù)a的取值范圍是．

【參考答案】

1。f′(x)=12x?2－2ax－2b,，∵f(x)在?x=?1處有極值,，

∴f′(1)=0,，即12－2a－?2b=?0,，化簡得?a+?b=6，

∵a>0,b>0,，∴ab≤a+b2?2=9,，當且僅當?a=??b=?3時,，ab有最大值，最大值為9,。

2． 由x?2－(a+1)x+a<0得(x－1)(x－a)<0,，由題意可知a≤1不可能，否則不能滿足不等式x?2－(a+1)x+a<0的所有整數(shù)解之和為27,，所以a>1,，由(x－1)(x－a)<0解得?1<?x