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拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)篇一

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1. 拋物線定義：

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn),，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線,，定點(diǎn)不在定直線上。它與橢圓,、雙曲線的第二定義相仿,，僅比值(離心率e)不同，當(dāng)e=1時(shí)為拋物線,，當(dāng)0

2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,，參數(shù)的幾何意義，是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,，掌握不同形式方程的幾何性質(zhì)(如下表)：

其中為拋物線上任一點(diǎn),。

3. 對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化運(yùn)算,。

4. 拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于,，直線與的斜率分別為,，直線的傾斜角為,，則有，,，,，，,，,，。

說(shuō)明：

1. 求拋物線方程時(shí),，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數(shù)法;若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律一般用軌跡法,。

2. 凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn),、弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理,，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算,。

3. 解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用,，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì),。

【解題方法指導(dǎo)】

例1. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸,，且與圓相交的公共弦長(zhǎng)等于,，求此拋物線的方程。

解析：設(shè)所求拋物線的方程為或

設(shè)交點(diǎn)(y10)

則,，∴,，代入得

∴點(diǎn)在上，在上

∴或,，∴

故所求拋物線方程為或,。

例2. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn),，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,，且∥軸，證明直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),。

解析：證法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)

故可設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線的方程為

由,，消去得

設(shè)，則

∵∥軸,，且在準(zhǔn)線上

∴點(diǎn)坐標(biāo)為

于是直線的方程為

要證明經(jīng)過(guò)原點(diǎn),，只需證明，即證

注意到知上式成立,，故直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),。

證法二：同上得。又∵∥軸,，且在準(zhǔn)線上,，∴點(diǎn)坐標(biāo)為。于是,，知三點(diǎn)共線,，從而直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

證法三：如圖,，

設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線交于點(diǎn),，過(guò)作，是垂足

則∥∥,，連結(jié)交于點(diǎn),，則

又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，

∴因此點(diǎn)是的中點(diǎn),，即與原點(diǎn)重合,，∴直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),。

評(píng)述：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì),，運(yùn)算能力和邏輯推理能力,。其中證法一和二為代數(shù)法，證法三為幾何法,，充分運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì),，數(shù)形結(jié)合，更為巧妙,。

【考點(diǎn)突破】

【考點(diǎn)指要】

拋物線部分是每年高考必考內(nèi)容,，考點(diǎn)中要求掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì),，多出現(xiàn)在選擇題和填空題中,，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能,、基本方法,，分值大約是5分。

考查通常分為四個(gè)層次：

層次一：考查拋物線定義的應(yīng)用;

層次二：考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法;

層次三：考查拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用;

層次四：考查拋物線與平面向量等知識(shí)的綜合問(wèn)題,。

解決問(wèn)題的基本方法和途徑：待定系數(shù)法,、軌跡方程法、數(shù)形結(jié)合法,、分類討論法,、等價(jià)轉(zhuǎn)化法。

【典型例題分析】

例3. (2006江西)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),，為拋物線的焦點(diǎn),，為拋物線上一點(diǎn)，若,，則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )

a. b.

c. d.

答案：b

解析：解法一：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,，則

，

解得或(舍),，代入拋物線可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,。

解法二：由題意設(shè),，則,，

即，,，求得,，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為。

評(píng)述：本題考查了拋物線的動(dòng)點(diǎn)與向量運(yùn)算問(wèn)題,。

例4. (2006安徽)若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,，則的值為( )

a. -2 b. 2 c. -4 d. 4

答案：d

解析：橢圓的右焦點(diǎn)為,，所以拋物線的焦點(diǎn)為，則,。

評(píng)述：本題考查拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的基本量的關(guān)系,。

【達(dá)標(biāo)測(cè)試】

一. 選擇題：

1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值是( )

a. b. c. d.

2. 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),，其焦點(diǎn)在軸上,，又拋物線上的點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離為4,，則等于( )

a. 4 b. 4或-4 c. -2 d. -2或2

3. 焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )

a. b. 或

c. d. 或

4. 圓心在拋物線上,，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程為( )

a. b.

c. d.

5. 正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在棱上,，且,，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為1,，則點(diǎn)的軌跡是( )

a. 拋物線 b. 雙曲線 c. 直線 d. 以上都不對(duì)

6. 已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),，設(shè)點(diǎn)到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為,，則的最小值是()

a. 5 b. 4 c. d.

7. 已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)是,，則的最小值是( )

a. b. 4 c. d. 5

8. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是( )

a. 12 b. -12 c. 3 d. -3

二. 填空題：

9. 已知圓和拋物線的準(zhǔn)線相切,，則的值是_____,。

10. 已知分別是拋物線上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn),，若的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn),，則直線的方程為_____。

11. 過(guò)點(diǎn)(0,，1)的直線與交于兩點(diǎn),，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則___,。

12. 已知直線與拋物線交于兩點(diǎn),，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_____。

三. 解答題：

13. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),，對(duì)稱軸為軸,，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5，求拋物線的方程,。

14. 過(guò)點(diǎn)(4,，1)作拋物線的弦,，恰被所平分，求所在直線方程,。

15. 設(shè)點(diǎn)f(1,，0)，m點(diǎn)在軸上,，點(diǎn)在軸上,，且。

⑴當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),，求點(diǎn)的軌跡的方程;

⑵設(shè)是曲線上的三點(diǎn),，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于e(3,，0)時(shí),，求點(diǎn)的坐標(biāo)。

【綜合測(cè)試】

一. 選擇題：

1. (2005上海)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于兩點(diǎn),，它們的橫坐標(biāo)之和等于5,，則這樣的直線( )

a. 有且僅有一條 b. 有且僅有兩條

c. 有無(wú)窮多條 d. 不存在

2. (2005江蘇)拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )

a. b. c. d. 0

3. (2005遼寧)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),，離心率為,，若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是( )

a. b. c. d. 21

4. (2005全國(guó)ⅰ)已知雙曲線的`一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合,，則該雙曲線的離心率為( )

a. b. c. d.

5. (2004全國(guó))設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),，若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是( )

a. b. c. d.

6. (2006山東)動(dòng)點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn),，為原點(diǎn),，當(dāng)時(shí)取得最小值，則的最小值為( )

a. b. c. d.

7. (2004北京)在一只杯子的軸截面中,，杯子內(nèi)壁的曲線滿足拋物線方程,，在杯內(nèi)放一個(gè)小球，要使球觸及杯子的底部,，則該球的表面積的取值范圍是( )

a. b. c. d.

8. (2005北京)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為,，直線與該拋物線相交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)及點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和為( )

a. 8 b. 7 c. 10 d. 12

二. 填空題：

9. (2004全國(guó)ⅳ)設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和的最小值是_____,。

10. (2005北京)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦為，以為直徑的圓為,，則圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是_____,，圓的面積是_____,。

11. (2005遼寧)已知拋物線的一條弦,，,，所在直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2),，則_____,。

12. (2004黃岡)已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，現(xiàn)將拋物線沿向量進(jìn)行平移,，且使得拋物線的焦點(diǎn)沿直線移到點(diǎn)處,，則平移后所得拋物線被軸截得的弦長(zhǎng)_____。

三. 解答題：

13. (2004山東)已知拋物線c：的焦點(diǎn)為,，直線過(guò)定點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn),。

⑴若以弦為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，求的值;

⑵在⑴的條件下,，若,，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

14. (2005四川)

如圖,，是拋物線的焦點(diǎn),，點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),，的最小值為8,。

⑴求拋物線方程;

⑵若為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn),，使過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn),，且，若存在,，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,，請(qǐng)說(shuō)明理由。

15. (2005河南)已知拋物線,，為頂點(diǎn),，為焦點(diǎn)，動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn),。若總存在一個(gè)實(shí)數(shù),，使得。

⑴求;

⑵求滿足的點(diǎn)的軌跡方程,。

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