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勾股定理有關(guān)證明篇一
勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來,，人們對它的證明趨之若騖,，其中有著名的數(shù)學家,，也有業(yè)余數(shù)學
愛
好者，有普通的老百姓,，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng),。也許是因為勾股定理既重要又簡單,，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作,，反復(fù)被人論證,。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法,。實際上還不止于此,，有資料表明，關(guān)于
勾股定理的證明方法已有500余種,，僅我國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法,。這是任何定理無法比擬的。在這數(shù)百種證明方法中,，有的十分精彩,，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名,。
首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明,，據(jù)說分別來源于中國和希臘
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劉徽在證明勾股定理時，也是用的以形證數(shù)的方法,，只是具體的分合移補略有不同.劉徽的證明原也有一幅圖,，可惜圖已失傳,，只留下一段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方,，令出入相補,，各從其類，因就其余不動也,，合成弦方之冪.開方除之,，即弦也.”后人根據(jù)這段文字補了一張圖。大意是：三角形為直角三角形,，以勾a為邊的正方形為朱方,，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛,，將朱方,、青放并成弦方。依其面積關(guān)系有a^+b^=c^.由于朱方,、青方各有一部分在弦方內(nèi),，那一部分就不動了。 以勾為邊的的正方形為朱方,，以股為邊的正方形為青方,。以贏補虛，只要把圖中朱方(a2)的i移至i′,，青方的ii移至ii′,，iii移至iii′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形(c的平方 ).由此便可證得a的平方+b的平方=c的平方,。 這個證明是由三國時代魏國的數(shù)學家劉徽所提出的,。在魏景元四年(即公元 263 年)，劉徽為古籍《九章算術(shù)》作注釋,。在注釋中,，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」,、「朱出」表示黃,、紫、綠三個部分,，又以「青入」,、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以后世數(shù)學家都稱這圖為「青朱入出圖」,。亦有人用「出入相補」這一詞來表示這個證明的原理,。
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這個定理有許多證明的方法,，其證明的方法可能是數(shù)學眾多定理中最多的',。路明思(elisha scott loomis)的 pythagorean proposition一書中總共提到367種證明方式,。
有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級數(shù))來證明勾股定理，但是,，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環(huán)論證)。
利用相似三角形的證法
利用相似三角形證明
有許多勾股定理的證明方式,，都是基于相似三角形中兩邊長的比例,。
設(shè)abc為一直角三角形, 直角于角c(看附圖). 從點c畫上三角形的高，并將此高與ab的交叉點稱之為h,。此新三角形ach和原本的三角形abc相似,，因為在兩個三角形中都有一個直角(這又是由于“高”的定義)，而兩個三角形都有a這個共同角,，由此可知第三只角都是相等的,。同樣道理，三角形cbh和三角形abc也是相似的,。這些相似關(guān)系衍生出以下的比率關(guān)系：
因為bc=a,ac=b,ab=c
所以a/c=hb/a and b/c=ah/b
可以寫成a*a=c*hb and b*b=c*ah
綜合這兩個方程式,，我們得到a*a+b*b=c*hb+c*ah=c*(hb+ah)=c*c
換句話說:a*a+b*b=c*c
[*]----為乘號
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