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定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇一

湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中,，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一,、(為常數(shù))型

例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù)，求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式,，這個(gè)不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知,，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),，由函上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

1即,，因?yàn)?，所?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在，又,，上是凹函數(shù),，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積,，圖

2即,，所以

.例3證明,。

證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間

上,，因,，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖

3即

.所以

.二,、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

項(xiàng)之和,，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和,，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，作的圖象,，由圖4知，在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,，以左右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩

個(gè)矩形面積之間,，即，而,，故不等式

成立,，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)

處的切線方程為

.的圖象在點(diǎn)

（ⅰ）用表示出（ⅱ）若,；

在內(nèi)恒成立,，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,，具有綜合性強(qiáng),、難度大、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式

列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,，則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí),，此式適合，故只要證當(dāng)

時(shí),，即,，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知,，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積,，即

.圖

5而

故原不等式成立.，所以,，點(diǎn)評本解法另辟蹊徑,，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義,，通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強(qiáng),，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn),，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題,，這樣才能化繁為簡,、化難為易，精彩的解法不是空穴來風(fēng)而是理性思維的必然結(jié)果.作者簡介：鄒生書,，男,，1962年12月出生，湖北陽新縣人.現(xiàn)任教于陽新縣高級中學(xué),，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師,，黃石市骨干教師.近四年來在《數(shù)學(xué)通訊》、《數(shù)學(xué)通報(bào)》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)》,、《中學(xué)教研》、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》,、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》,、《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》,、《河北理科教學(xué)研究》,、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化解題研究》等近二十種期刊上發(fā)表教學(xué)教研文章百余篇,，在人教網(wǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)欄目發(fā)表文章二十多篇.

定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇二

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù)或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,，則可達(dá)到以簡馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù)型,，求證例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題已知正整數(shù)

.分析 這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步,，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)知,，在區(qū)間 并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函數(shù)圖象可上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖1

即,，因?yàn)?，所?所以.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)在和小于曲邊梯形的面積，又,，上的個(gè)矩形的面積之

上是凹函數(shù),，由圖象知，在區(qū)間

圖

2即,，所以

.例

3證明,。

證明

構(gòu)造函數(shù)區(qū)間 上，因,，又其函數(shù)是凹函數(shù),，由圖3可知，在個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖3 即

.所以

.二,、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為項(xiàng)之和,，中間的通項(xiàng)不等式的數(shù)列的前項(xiàng)之和,，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí)這三個(gè)數(shù)列的可當(dāng)作是某數(shù)列的前

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，作的圖象,，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,，以左右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個(gè)矩形面積之間,，即，而,，故不等式

成立,，從而所證不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為（ⅰ）用表示出（ⅱ）若,； 在內(nèi)恒成立,，求的取值范圍；.的圖象在點(diǎn)（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,，具有綜合性強(qiáng),、難度大、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明

（ⅲ）不等式項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,，此式適合即,，左邊是通項(xiàng)為，則當(dāng),，故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí),，時(shí),，也就是要證

由此構(gòu)造函數(shù)積，即,，并作其圖象如圖5所示.由圖知,，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

.圖5

而立.，所以,，故原不等式成

定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇三

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,，則可達(dá)到以簡馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù),，求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步,，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知,，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖

1即,，因?yàn)椋?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在,，又,，上是凹函數(shù)，由圖象知,，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積,，圖

2即，所以

.例3證明,。

證明構(gòu)造函數(shù)知,，在區(qū)間

上，因,，又其函數(shù)是凹函數(shù),，由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二,、型

例4若,，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和,，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù),，因?yàn)椋鞯膱D象,，由圖4知,，在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,，以左右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩

個(gè)矩形面積之間，即,，而,，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)

處的切線方程為的圖象在點(diǎn)

.（?。┯帽硎境觯áⅲ┤?；

在內(nèi)恒成立，求的取值范圍,；

（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,，具有綜合性強(qiáng)、難度大,、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式

列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,，則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí),，此式適合，故只要證當(dāng)

時(shí),，即,，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知,，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積,，即

.圖5

而

故原不等式成立.，所以,，

定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇四

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,，則可達(dá)到以簡馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù),，求證

.分析

這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步,，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知,，在區(qū)間

并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函

上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖1 即,，因?yàn)椋?所以

.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)

而函數(shù)在，又,，上是凹函數(shù)，由圖象知,，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖

2即，所以.例3 證明,。

證明 構(gòu)造函數(shù)可知,，在區(qū)間 上，因,，又其函數(shù)是凹函數(shù),，由圖

3個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二,、型

例4 若,，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和,，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù),，因?yàn)椋鞯膱D象,，由圖4知,，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個(gè)矩形面積之間,，即,，而，故不等式

成立,，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為

（?。┯帽硎境?；

.的圖象在點(diǎn)（ⅱ）若 在內(nèi)恒成立,，求的取值范圍,；

（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng),、難度大,、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式數(shù)列的前項(xiàng)之和,，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,，則當(dāng)?shù)臅r(shí)，此式適合,，故只要證當(dāng) 時(shí),，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知,，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積,，即

.圖

5而，所以,，故原不等式成立.點(diǎn)評 本解法另辟蹊徑,，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題,，解法雖然綜合性強(qiáng),，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn)，很值得品味.由例4例5可知,，要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題,，這樣才能化繁為簡、化難為易,，