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定積分不等式的證明 證明定積分的不等式(四篇)

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定積分不等式的證明 證明定積分的不等式(四篇)
時(shí)間:2023-01-11 19:40:56     小編:zdfb

無(wú)論是身處學(xué)校還是步入社會(huì),,大家都嘗試過(guò)寫作吧,借助寫作也可以提高我們的語(yǔ)言組織能力,。范文書寫有哪些要求呢?我們?cè)鯓硬拍軐懞靡黄段哪兀窟@里我整理了一些優(yōu)秀的范文,希望對(duì)大家有所幫助,下面我們就來(lái)了解一下吧,。

定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇一

湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中,,由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,,則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一,、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù),,求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,,標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式,,這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步,則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知,,在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),,由函上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,圖

1即,,因?yàn)?,所?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在,又,,上是凹函數(shù),,由圖象知,在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積,,圖

2即,,所以

.例3證明。

證明構(gòu)造函數(shù)知,,在區(qū)間

上,,因,又其函數(shù)是凹函數(shù),,由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖

3即

.所以

.二,、型

例4若,求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

項(xiàng)之和,,中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?,作的圖象,,由圖4知,在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng),,以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩

個(gè)矩形面積之間,,即,而,,故不等式

成立,,從而所證不等式成立.圖

4例5(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數(shù)

處的切線方程為

.的圖象在點(diǎn)

(ⅰ)用表示出(ⅱ)若,;

在內(nèi)恒成立,,求的取值范圍;

(ⅲ)證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,,具有綜合性強(qiáng),、難度大、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明(ⅲ)不等式

列的前項(xiàng)之和,,我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí),,此式適合,,故只要證當(dāng)

時(shí),即,,也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù),,并作其圖象如圖5所示.由圖知,直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積,,即

.圖

5而

故原不等式成立.,,所以,點(diǎn)評(píng)本解法另辟蹊徑,,挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義,,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題,解法雖然綜合性強(qiáng),,但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn),,很值得品味.由例4例5可知,要解決這類復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)題,,這樣才能化繁為簡(jiǎn),、化難為易,,精彩的解法不是空穴來(lái)風(fēng)而是理性思維的必然結(jié)果.作者簡(jiǎn)介:鄒生書,男,,1962年12月出生,,湖北陽(yáng)新縣人.現(xiàn)任教于陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué),中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師,,黃石市骨干教師.近四年來(lái)在《數(shù)學(xué)通訊》,、《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》,、《中學(xué)教研》,、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》,、《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》,、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《河北理科教學(xué)研究》,、《數(shù)理天地》,、《數(shù)理化解題研究》等近二十種期刊上發(fā)表教學(xué)教研文章百余篇,在人教網(wǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)欄目發(fā)表文章二十多篇.

定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇二

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù)或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,,這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中,,由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一,、(為常數(shù)型,求證例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題已知正整數(shù)

.分析 這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,,標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式,這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步,,則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)知,,在區(qū)間 并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),由函數(shù)圖象可上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖1

即,,因?yàn)椋?所以.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)在和小于曲邊梯形的面積,,又,,上的個(gè)矩形的面積之

上是凹函數(shù),由圖象知,,在區(qū)間

2即,,所以

.例

3證明,。

證明

構(gòu)造函數(shù)區(qū)間 上,因,,又其函數(shù)是凹函數(shù),,由圖3可知,在個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖3 即

.所以

.二,、型

例4 若,求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為項(xiàng)之和,,中間的通項(xiàng)不等式的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí)這三個(gè)數(shù)列的可當(dāng)作是某數(shù)列的前

成立即可.構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?,作的圖象,,由圖4知,在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng),,以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩個(gè)矩形面積之間,,即,而,,故不等式

成立,,從而所證不等式成立.例5(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數(shù)處的切線方程為(ⅰ)用表示出(ⅱ)若,; 在內(nèi)恒成立,,求的取值范圍;.的圖象在點(diǎn)(ⅲ)證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,,具有綜合性強(qiáng),、難度大、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明

(ⅲ)不等式項(xiàng)之和,,我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,此式適合即,,左邊是通項(xiàng)為,,則當(dāng),故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí),,時(shí),,也就是要證

由此構(gòu)造函數(shù)積,即,,并作其圖象如圖5所示.由圖知,,直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

.圖5

而立.,所以,,故原不等式成

定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇三

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,,這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中,,由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一,、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù),求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,,標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式,,這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步,則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知,,在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),,由函上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,圖

1即,,因?yàn)?,所?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在,又,,上是凹函數(shù),,由圖象知,在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積,,圖

2即,,所以

.例3證明。

證明構(gòu)造函數(shù)知,,在區(qū)間

上,,因,又其函數(shù)是凹函數(shù),,由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖

3即

.所以

.二、型

例4若,,求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

項(xiàng)之和,,中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和,右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù),,因?yàn)?,作的圖象,由圖4知,,在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng),以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩

個(gè)矩形面積之間,,即,,而,故不等式

成立,,從而所證不等式成立.圖

4例5(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數(shù)

處的切線方程為的圖象在點(diǎn)

.(?。┯帽硎境觯áⅲ┤?;

在內(nèi)恒成立,求的取值范圍,;

(ⅲ)證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,,具有綜合性強(qiáng)、難度大,、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明(ⅲ)不等式

列的前項(xiàng)之和,我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí),,此式適合,故只要證當(dāng)

時(shí),,即,,也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù),并作其圖象如圖5所示.由圖知,,直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積,,即

.圖5

故原不等式成立.,所以,,

定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇四

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,,這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中,由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,,則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù),,求證

.分析

這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,,標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式,,這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步,,則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知,在區(qū)間

并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),,由函

上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖1 即,,因?yàn)椋?所以

.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)

而函數(shù)在,,又,,上是凹函數(shù),由圖象知,,在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖

2即,所以.例3 證明。

證明 構(gòu)造函數(shù)可知,,在區(qū)間 上,,因,又其函數(shù)是凹函數(shù),,由圖

3個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,,圖3

.所以

.二、型

例4 若,,求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前項(xiàng)之和,,中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和,右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù),,因?yàn)?,作的圖象,由圖4知,,在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng),,以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩個(gè)矩形面積之間,即,,而,,故不等式

成立,從而所證不等式成立.圖4

例5(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數(shù)處的切線方程為

(?。┯帽硎境?,;

.的圖象在點(diǎn)(ⅱ)若 在內(nèi)恒成立,求的取值范圍,;

(ⅲ)證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,,具有綜合性強(qiáng)、難度大,、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明(ⅲ)不等式數(shù)列的前項(xiàng)之和,我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和,,則當(dāng)?shù)臅r(shí),,此式適合,故只要證當(dāng) 時(shí),,即,,也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù),并作其圖象如圖5所示.由圖知,,直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積,,即

.圖

5而,所以,,故原不等式成立.點(diǎn)評(píng) 本解法另辟蹊徑,,挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義,,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題,,解法雖然綜合性強(qiáng),,但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn),很值得品味.由例4例5可知,,要解決這類復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)題,,這樣才能化繁為簡(jiǎn)、化難為易,,

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