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定積分不等式證明題 積分不等式證明題篇一

我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中,，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,，則可達到以簡馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一,、(為常數(shù))型

例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù),，求證

.分析

這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式,，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強的不等式,，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知,，在區(qū)間

并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),，由函

上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即,，因為,，所以.所以

.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)

而函數(shù)在，又,，上是凹函數(shù),，由圖象知，在區(qū)間上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖

2即,，所以.例3 證明。

證明 構(gòu)造函數(shù)可知,，在區(qū)間 上,，因，又其函數(shù)是凹函數(shù),，由圖

3個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖3

即

.所以

.二、型

例4 若,，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項為前項之和,，中間的的數(shù)列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時這三個數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù),，因為,，作的圖象，由圖4知,，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,，以左右端點對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而,，故不等式

成立,，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為

（ⅰ）用表示出 ,；

.的圖象在點（ⅱ）若 在內(nèi)恒成立,，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,，具有綜合性強,、難度大,、思維含金量高,、區(qū)分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式數(shù)列的前項之和,，我們也可把右邊當(dāng)作是通項為

左邊是通項為的數(shù)列的前項之和,，則當(dāng)?shù)臅r,，此式適合,，故只要證當(dāng) 時,，即,，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù),，并作其圖象如圖5所示.由圖知,，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即

.圖

5而,，所以,，故原不等式成立.點評 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義,，通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題,，解法雖然綜合性強，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個新方法新亮點,，很值得品味.由例4例5可知,，要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題，這樣才能化繁為簡,、化難為易,，

定積分不等式證明題 積分不等式證明題篇二

定積分在數(shù)列和式不等式證明中的應(yīng)用

湖北省宜昌市第二中學(xué)曹超

郵編：443000電子郵箱：c220032003@

數(shù)列和式不等式?ai?a(或?ai?a)的證明通常要用到放縮法，由于放縮法技巧性強,，且無固定模式，i?

1i?1

n

n

在實際解題過程中同學(xué)們往往難以掌握,。學(xué)習(xí)了定積分的相關(guān)知識后,，我們可以利用定積分的定義及幾何意義證明此類不等式，下面筆者僅就兩例對這種方法加以介紹,。

例1

證明：1)?1?

第2題）

證明：

構(gòu)造函數(shù)f(x)?

1?

1????

1（n?n?）（高中人教（a）版選修4-5p29?,，作出函數(shù)圖象,，圖（1）中n-1個矩形的面積

和

1????

應(yīng)為直線x?1，x?n,，x軸和曲

線

f(x)?

所圍成曲邊梯形面積的不足近似值,，故

?????

?

?

n

x

?

2dx=2x

2n

=2，所以

圖（1）

1?

?

????

?1?,。

圖（2）中n

個矩形的面積和1?

??????

應(yīng)為直線

x?1,，x?n?1，x軸和曲

線f(x)?所圍成的曲邊梯形

面積的過剩近似值,，故1?

?

?????

?

n?1

x

?

dx=

圖（2）

2x2

n1

=2,，不等式得證。

評析：

教材對本題證明給出了提示：?

?

?

?

?

①,，實際解題過程中,，由于不等式①技巧性強，思維量大,，學(xué)生如不參考提示很難得到,。事實

上,，如圖（3）所示,，根據(jù)定積分的定義及幾何意義，在區(qū)間?n,n?1?(n?n?)上的曲邊梯形的面積大于以區(qū)間的右端點n?1對應(yīng)的函數(shù)值f(n?1)為一邊的長,，以1

為鄰邊的長的矩形的面積,，小于以區(qū)間的左端點n對

圖（3）

應(yīng)的函數(shù)值f(n)為一邊的長，以1為鄰邊的長的矩形的面積,，即

?

?

n?1n

x

?

dx?2x2

n?1n

?

?

代數(shù)變形技巧得到,，更非“空穴來風(fēng)”，而是有著明確幾何意義的代數(shù)表示,，數(shù)形結(jié)合思想在這里得以充分地體現(xiàn),。

例 2對于任意正整數(shù)n，試證：（1）當(dāng)n?n時,，求證：ln(n?1)?lnn?

（2）

1n?1

?

1n?2

?????

1n?n

?ln

3?

1n+1

分析：此題的設(shè)計意圖是利用第（1）問的結(jié)論證明第（2）問,。但如果沒有第一問作鋪墊，第（2）問的證明很難用代數(shù)方法得到,，如果利用例1所述方法,，那么證明變得非常簡潔。

證明：（1）證明略,。

（2）構(gòu)造函數(shù)f(x)?

1x

(x?0),，作出函數(shù)圖象，根據(jù)y?f(x)

在區(qū)間?n,2n?上定積分定義及其幾何意義,，圖（4）中n個矩形的面積和小于由直線x?n,，x?2n，x軸和曲線f(x)?圍

1x

所，即

成?

?n的12?

曲

邊梯形的面積

n?1

21n1

l???n2nx??x

n??(n?2l

7n?)n,，l不等式nln

得證,。

圖（4）

新課標(biāo)新增的微積分知識有著豐富的數(shù)學(xué)背景及內(nèi)涵，所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法為我們問題的解決提供了新的視角,，所以我們在平常學(xué)習(xí)過程中應(yīng)予以足夠的重視,。最后提供兩道練習(xí)題供同學(xué)們參考。

1,、2,、求證：()?()?????（n

n

n

n

n?1

nnn)?()?2nn

1n?

1n?1

?

（n?n）

????

1n

?

證明：對于大于1的正整數(shù)n，n?2

?1

定積分不等式證明題 積分不等式證明題篇三

關(guān)于“和式”的數(shù)列不等式證明方法

方法：先求和,，再放縮

例

1,、設(shè)數(shù)列?an?滿足a1?0且an

?n,2an?1?1?an?1?an，n

?n*,，記sn??bk,證明：sn?1.k?1n

（?。┣?an?的通項公式；（ⅱ）設(shè)bn?

【解析】：（?。┯?/p>

?1?1

1??1.得??為等差數(shù)列,，1?a1?an?11?ann??

前項為

1111

?1,d?1,于是?1?(n?1)?1?n，?1?an?,an

?1?

1?a11?annn

（ⅱ）bn?

n

?

?

?

?

sn??bk?k

?1

?????1??1 練習(xí)：數(shù)列{an}為等差數(shù)列,，an為正整數(shù),，其前n項和為sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,，且

a1?3,b1?1,，數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2s2?64.（1）求an,bn,；（2）求證

1113?????.s1s2sn

4解：（1）設(shè){an}的公差為d,，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù),，an?3?(n?1)d,，bn?qn?1

?ban?1q3?ndd6

??q?64?2?

q3?(n?1)d依題意有?ban①

?

s2b2?(6?d)q?64?

由(6?d)q?64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1,2,3,6之一,，解①得d?2,q?8

故an?3?2(n?1)?2n?1,bn?8

n?1

（2）sn?3?5???(2n?1)?n(n?2)∴

1111111

??????????

s1s2sn1?32?43?5n(n?2)

11111111?(1?????????)232435nn?211113?(1???)? 22n?1n?24

方法：先放縮,，再求和 例

1、（放縮之后裂項求和）（遼寧卷21）．

在數(shù)列|an|,，|bn|中,，a1=2，b1=4,，且an,，bn,，an?1成等差數(shù)列，bn,，an?1,，bn?1成等比數(shù)列（n?n）

（ⅰ）求a2,，a3,，a4及b2，b3,，b4,，由此猜測|an|，|bn|的通項公式,，并證明你的結(jié)論,；（ⅱ）證明：

*

5??…??． a1?b1a2?b2an?bn1

2本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列,，數(shù)學(xué)歸納法,，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行歸納,、總結(jié),、推理、論證等能力．滿分12分． 解：（?。┯蓷l件得2bn?an?an?1,，an?1?bnbn?1 由此可得

a2?6,，b2?9,，a3?12，b3?16,，a4?20,，b4?25． ···················································· 2分

猜測an?n(n?1)，bn?(n?1)． ······················································································· 4分 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時,，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n=k時,，結(jié)論成立，即

ak?k(k?1),，bk?(k?1)2,，那么當(dāng)n=k+1時，2ak

ak?1?2bk?ak?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2),，bk?1??2?(k?2)2．

bk

所以當(dāng)n=k+1時,，結(jié)論也成立．

由①②，可知an?n(n?1),，bn(n?1)對一切正整數(shù)都成立． ·········································· 7分（ⅱ）

5??．

a1?b161

2n≥2時,，由（?。┲猘n?bn?(n?1)(2n?1)?2(n?1)n． ·············································· 9分 故

11111?111?

??…??????…?? a1?b1a2?b2an?bn62?2?33?4n(n?1)?

?

11?111111???????…??? 62?2334nn?1?11?11?115??????? 62?2n?1?6412

?

綜上，原不等式成立．··································································································· 12分（例

2,、（放縮之后等比求和）

（06福建）已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?n).*

（?。┣髷?shù)列?an?的通項公式；（ⅱ）證明：

an1a1a2n

????...?n?(n?n*)23a2a3an?1

22n

（iii）.設(shè)bn?an(an?1),，數(shù)列?bn?的前n項和為sn,，令tn?，sn

（i）求證：t1?t2?t3??tn?n,；

（ii）求證：t1?t2?t3??tn?,；

本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識,，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法,，考查綜合解題能力。滿分14分,。

（i）解：?an?1?2an?1(n?n),*

?an?1?1?2(an?1),??an?1?是以a1?1?2為首項,，2為公比的等比數(shù)列。?an?1?2n.即 an?2?1(n?n).*

（ii）證法一：?41

4k?1k2?

1...4kn?1?(an?1)kn.?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn,①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1.② ②－①,，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.③－④,，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,即 bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?n*),??bn?是等差數(shù)列。

證法二：同證法一,，得(n?1)bn?1?nbn?2?0 令n?1,得b1?2.設(shè)b2?2?d(d?r),下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 bn?2?(n?1)d.（1）當(dāng)n?1,2時,，等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k(k?2)時,，bk?2?(k?1)d,那么

k2k2bk??[2?(k?1)d]??2?[(k?1)?1]d.k?1k?1k?1k?1這就是說,，當(dāng)n?k?1時，等式也成立,。bk?1?

根據(jù)（1）和（2）,，可知bn?2?(n?1)d對任何n?n都成立。

*

?bn?1?bn?d,??bn?是等差數(shù)列,。

ak2k?12k?11

?k?1??,k?1,2,...,n,（iii）證明：?

ak?12?12(2k?1)

2?

aa1a2n

??...?n?.a2a3an?12

ak2k?11111111??k?1??????.,k?1,2,...,n, ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232k

?

aa1a2n1111n11n1

??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan

???1?2?...?n?(n?n*).23a2a3an?12

方法：先放縮,，再化類等差等比

例1（有界性放縮，迭加）,、各項為正數(shù)的等比數(shù)列?an?中,，a1?a3?10，a3?a5?40,n?n*,；

（1）求數(shù)列?an?的通項公式,；（2）設(shè)b1?1，bn?1nn?

1?1?,，求證：bn?1?bn?3?n?1 bnan

2an?2,；分析,；（1）（2）證明：因為an?1?(1?

所以an?0，n

n

所以an?1與an同號,，又因為a1?1?0,，)an，2n

n

an?0,，即an?1?an．所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,，所以an?a1?1，n2nn12n?1

即an?1?an?nan?n,，累加得：an?a1??2???n?1．

22222

12n?1112n?1

令sn??2???n?1,，所以sn?2?3???n，兩式相減得：

2222222

11111n?1n?1n?1sn??2?3???n?1?n,，所以sn?2?n?1,，所以an?3?n?1，22222222

n?1

故得an?1?an?3?n?1．

即an?1?an?

例2（利用有界性化為類等比）,、（安徽卷21）．（本小題滿分13分）

設(shè)數(shù)列?an?滿足a0?0,an?1?can?1?c,c?n,其中c為實數(shù)

*

（?。┳C明：an?[0,1]對任意n?n成立的充分必要條件是c?[0,1]；

*

1n?1*,，證明：an?1?(3c),n?n;312222

（ⅲ）設(shè)0?c?,，證明：a1?a2??an?n?1?,n?n*

31?3c

（ⅱ）設(shè)0?c?

解(1)必要性 ：∵a1?0,∴a2?1?c，又 ∵a2?[0,1],∴0?1?c?1,，即c?[0,1]

充分性 ：設(shè) c?[0,1],，對n?n用數(shù)學(xué)歸納法證明an?[0,1]當(dāng)n?1時，a1?0?[0,1].假設(shè)ak?[0,1](k?1)

則ak?1?cak?1?c?c?1?c?1,，且ak?1?cak?1?c?1?c??0

*

∴ak?1?[0,1],，由數(shù)學(xué)歸納法知an?[0,1]對所有n?n*成立

(2)設(shè) 0?c?，當(dāng)n?1時,，a1?0,，結(jié)論成立 3

當(dāng)n?2 時，∵an?can?1?1?c,∴1?an?c(1?an?1)(1?an?1?an?1)∵0?c?

12,由（1）知an?1?[0,1],，所以 1?an?1?an?1?3 且 1?an?1?03

∴1?an?3c(1?an?1)

∴1?an?3c(1?an?1)?(3c)(1?an?2)???(3c)∴an?1?(3c)

(3)設(shè) 0?c?

n?1

n?1

(1?a1)?(3c)n?1

(n?n*)

122，當(dāng)n?1時,，a1?0?2?,，結(jié)論成立 31?3c

n?1

當(dāng)n?2時，由（2）知an?1?(3c)

?0

∴an?(1?(3c)n?1)2?1?2(3c)n?1?(3c)2(n?1)?1?2(3c)n?1 22222n?1∴a2]1?a2???an?a2???an?n?1?2[3c?(3c)???(3c)

2(1?(3c)n)2

?n?1??n?1?

1?3c1?3c

定積分不等式證明題 積分不等式證明題篇四

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式,，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中,，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁,、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一,、(為常數(shù))型

例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù),，求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強的不等式,，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步,，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),，由函上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖

1即，因為,，所以.所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在,，又，上是凹函數(shù),，由圖象知,，在區(qū)間上的個矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即,，所以

.例3證明,。

證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間

上,，因,，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可

個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖

3即

.所以

.二,、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項為前

項之和,，中間的的數(shù)列的前項之和,，右邊通項為項之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時這三個數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因為,，作的圖象,，由圖4知，在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,，以左右端點對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩

個矩形面積之間,，即，而,，故不等式

成立,，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)

處的切線方程為的圖象在點

.（ⅰ）用表示出（ⅱ）若,；

在內(nèi)恒成立,，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲,，具有綜合性強,、難度大,、思維含金量高、區(qū)分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式

列的前項之和,，我們也可把右邊當(dāng)作是通項為

左邊是通項為的數(shù)列的前項之和,，則當(dāng)?shù)臄?shù)時，此式適合,，故只要證當(dāng)

時,，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù),，并作其圖象如圖5所示.由圖知,，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積，即

.圖5

而

故原不等式成立.,，所以,，

定積分不等式證明題 積分不等式證明題篇五

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù)或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中,，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明,，則可達到以簡馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一,、(為常數(shù)型,，求證例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題已知正整數(shù)

.分析 這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強的不等式,，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步,，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間 并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù),，由函數(shù)圖象可上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖1

即，因為,，所以.所以.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)在和小于曲邊梯形的面積,，又，上的個矩形的面積之

上是凹函數(shù),，由圖象知,，在區(qū)間

圖

2即，所以

.例

3證明,。

證明

構(gòu)造函數(shù)區(qū)間 上,，因，又其函數(shù)是凹函數(shù),，由圖3可知，在個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,，圖3 即

.所以

.二,、型

例4 若,，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項為項之和，中間的通項不等式的數(shù)列的前項之和,，右邊通項為項之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時這三個數(shù)列的可當(dāng)作是某數(shù)列的前

成立即可.構(gòu)造函數(shù),，因為，作的圖象,，由圖4知,，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個矩形面積之間,，即,，而，故不等式

成立,，從而所證不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為（?。┯帽硎境觯áⅲ┤簦?在內(nèi)恒成立,，求的取值范圍,；.的圖象在點（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強,、難度大,、思維含金量高、區(qū)分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明

（ⅲ）不等式項之和,，我們也可把右邊當(dāng)作是通項為的數(shù)列的前項之和,，此式適合即，左邊是通項為,，則當(dāng),，故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時，時,，也就是要證

由此構(gòu)造函數(shù)積,，即，并作其圖象如圖5所示.由圖知,，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

.圖5

而立.,，所以，故原不等式成