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垂直于弦的直徑說課稿 垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理篇一
：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程,；能初步應(yīng)用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題,、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性,，培養(yǎng)學(xué)生對的審美觀,，并激發(fā)學(xué)生對的熱愛.
、難點：
重點：①垂徑定理及應(yīng)用,；②從感性到理性的能力.
難點：垂徑定理的證明.
活動設(shè)計：
1,、實驗：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱,、中心對稱,、旋轉(zhuǎn)不變性.2、提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察,、分析,、發(fā)現(xiàn)和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中,，cd是直徑，ab是弦,，cd⊥ab，垂足為e.
求證：ae=eb,， = ， = .
證明：連結(jié)oa、ob,，則oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直線cd是等腰△oab的對稱軸,，又是⊙o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時,，cd兩側(cè)的兩個半圓重合，a點和b點重合,，ae和be重合,， 、 分別和 ,、 重合.因此,，ae=be， = ,， = .從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑,，cd⊥ab ae=eb， = ,， = .
為了運用的方便,，不易出現(xiàn)錯誤，將原定理敘述為：①過圓心,；②垂直于弦,；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點,，分散難點,，避免學(xué)生記混.
例1、如圖,，已知在⊙o中,，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm,，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑,，連結(jié)oa，只要求出oa的長就可以了,，因為已知條件點o到ab的距離為3cm,，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa,，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm,，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,，
在rt△aoe中，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說明：①學(xué)生獨立完成,，老師指導(dǎo)解題步驟,；②應(yīng)用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r,、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2,、 已知：如圖,，在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c,、d兩點.求證ac=bd.（證明略）
說明：此題為基礎(chǔ)題目,，對各個層次的學(xué)生都要求獨立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路,，學(xué)生之間展開評價,、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計算弦長,、半徑,、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
教師組織學(xué)生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性,；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結(jié)合計算弦長,、半徑、弦心距等問題的方法,，構(gòu)造直角三角形,；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理,，一條直線只要滿足①過圓心,；②垂直于弦；則可得③平分弦,；④平分弦所對的優(yōu)弧,；⑤平分弦所對的劣弧.
教材p84中11,、12、13.
：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應(yīng)用,；
（2）通過對推論的探討,，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較,、分析,、發(fā)現(xiàn)問題,，概括問題的能力.促進學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系.
,、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論,；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
活動設(shè)計：
1、復(fù)習(xí)提問：定理：平分這條弦,，并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧.
2,、剖析：
（教師指導(dǎo)）
(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問題：（a層學(xué)生自己組合,，小組交流,，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
， ,，……（包括原定理,，一共有10種）
(三)探究新問題，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1,、“平分弦的直徑垂直于弦,，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2,、按圖填空：在⊙o中,，
（1）若mn⊥ab，mn為直徑,，則________,，________，________,；
（2）若ac＝bc,，mn為直徑，ab不是直徑,，則則________,，________，________,；
（3）若mn⊥ab,，ac＝bc，則________,，________,，________；
（4）若 = ,，mn為直徑,，則________，________，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例,、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成,，對于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法,，通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,；通過與教材p80中的第3題圖的對比，加深學(xué)生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法,；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論,，會解決有關(guān)的證明，計算問題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?；提高學(xué)生方程思想,、分類討論思想的應(yīng)用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學(xué)生進行愛國主義的；并向?qū)W生滲透來源于實踐,，又反過來服務(wù)于實踐的辯證唯物主義思想
：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
：如何進行輔助線的添加
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說,，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ,；⑵ 垂直于弦 ,；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ,；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a,、圓半徑r、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ,；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等,、角相等,、垂直關(guān)系；同時為圓中的計算,、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析,，交流，解答,，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1,、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,，它的跨度(弧所對的弦的長)為374米,，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為72米,，求橋拱的半徑(精確到01米).
說明：①對學(xué)生進行愛國主義的；②應(yīng)用題的解題思路：實際問題——（轉(zhuǎn)化,，構(gòu)造直角三角形）——問題.
例2,、已知：⊙o的半徑為5 ,，弦ab∥cd ，ab =6 ,，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦ab,、cd在圓心o的兩側(cè)
過點o作ef⊥ab于e，連結(jié)oa,、oc,，
又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點,，學(xué)生往往作oe⊥ab,，of⊥ab，就得ef=oe+of,，錯誤的結(jié)論）
由ef過圓心o,，ef⊥ab，ab =6,，得ae=3,，
在rt△oea中，由勾股定理,，得
,，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當弦ab、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4,，of=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想,，培養(yǎng)學(xué)生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問題；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3,、 已知：如圖,，ab是⊙o的弦，半徑oc∥ab ,，ab=24 ,，oc =15 .求：bc的長.
解：（略，過o作oe⊥ae于e ,，過b作bf⊥oc于f ,， =）
說明：通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形,，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示,，若油面寬ab=600mm，求油的最大深度.
學(xué)生分析,，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度,，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形,，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問題,；注重構(gòu)造思想，方程思想,、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15,、16題，p85中b組2,、3題.
如圖,，直線mn與⊙o交于點a、b,，cd是⊙o的直徑,，ce⊥mn于e，df⊥mn于f,，oh⊥mn于h.
（1）線段ae,、bf之間存在怎樣的關(guān)系？線段ce,、oh,、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.
（2）當直線cd的兩個端點在mn兩側(cè)時,，上述關(guān)系是否仍能成立,？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系,？并說明理由.
（答案提示：（1）ae=bf,，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立,，ce+df=,、df、oh之間應(yīng)滿足）
垂直于弦的直徑說課稿 垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理篇二
【教學(xué)內(nèi)容】 垂徑定理
【教學(xué)目標】
1.知識目標：①通過觀察實驗,，使學(xué)生理解圓的軸對稱性,；
②掌握垂徑定理，理解其證明,，并會用它解決有關(guān)的證明與計算問題,；
③掌握輔助線的作法——過圓心作一條與弦垂直的線段。
2.能力目標：①通過定理探究,，培養(yǎng)學(xué)生觀察,、分析、邏輯思維和歸納概括能力,；
②向?qū)W生滲透“由特殊到一般,，再由一般到特殊”的基本思想方法,。
3.情感目標：①結(jié)合本課教學(xué)特點，向?qū)W生進行愛國主義教育和美育滲透,；
②激發(fā)學(xué)生探究,、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的興趣和欲望。
【教學(xué)重點】垂徑定理及其應(yīng)用,。
【教學(xué)難點】垂徑定理的證明。
【教學(xué)方法】探究發(fā)現(xiàn)法,。
【教具準備】自制的教具,、自制課件、實物投影儀,、電腦,、三角板、圓規(guī),。
【教學(xué)設(shè)計】
一
1 放映幻燈片,，請同學(xué)們觀察幾幅圖片，看他們有什么共同特點,？
那么圓具有這樣的特點嗎,？如果是，它的對稱軸是什么,？你能找到多少條對稱軸,？
你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流.
（老師點評）圓是軸對稱圖形,，它的對稱軸是直徑,，我能找到無數(shù)多條直徑.
4.
1.實例：同學(xué)們都學(xué)過《中國石拱橋》這篇課文（初二語文第三冊第一課·茅以升），其中介紹了我國隋代工匠李春建造的趙州橋（如圖）,。因它位于現(xiàn)在的歷史文化名城河北省趙縣（古稱趙州）而得名,，是世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋,，距今已有1400多年歷史,，被譽為“華北四寶之一”，它的結(jié)構(gòu)是當時世界橋梁界的首創(chuàng),，這充分顯示了我國古代勞動人民的創(chuàng)造智慧,。
2.導(dǎo)入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米拱高（弧的中點到弦ab的距離,，
也叫弓高）為7.2米,。請問：橋拱的半徑（即弧ab所在圓的半徑）是多少？
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),，我們將能很容易解決這一問題,。????? （圖1幻燈片放映）
（一）學(xué)生活動
1讓學(xué)生將準備好的一張圓形紙片按下列條件操作,；教師用電腦演示重疊的過程。
如圖,，ab是⊙o的一條弦,，做直徑cd，使cd⊥ab,，垂足為e.
2教師用電腦演示重疊的過程,。
提問：（1）如圖是軸對稱圖形嗎？如果是,，其對稱軸是什么,？
（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由.
（老師點評）（1）是軸對稱圖形,，其對稱軸是cd.
（2）ae=be,，ad=bd ?ac=bc
1.引導(dǎo)證明：
引導(dǎo)學(xué)生從以下兩方面尋找證明思路。
①證明“ae=be”,，可通過連結(jié)oa,、ob來實現(xiàn)，利用等腰三角形性質(zhì)證明,。
②證明“弧相等”,，就是要證明它們“能夠完全重合”，可利用圓的對稱性證明,。
2.歸納定理：
根據(jù)上面的證明,，請學(xué)生自己用文字語文進行歸納，并將其命名為“垂徑定理”,。
3.鞏固定理：
a
d
在下列圖形能否利用“垂徑定理”得到相等的線段和相等的?。咳舨荒?，說明理由,；。
a
b
c
c
e
a
b
o
e
b
c
o
c
c
e
e
a
b
e
b
a
b
a
d
d
d
向?qū)W生強調(diào)：(1)定理中的兩個條件缺一不可,；(2)定理的變式圖形,。
1.運用定理解決趙州橋的問題。
〖例1〗 導(dǎo)入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1）,，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米拱高（弧的中點到弦ab的距離,，
也叫弓高）為7.2米。請問：橋拱的半徑（即弧ab所在圓的半徑）是多少 ,？
分析：如圖,，用ab ??表示主橋拱，設(shè) ab? 所在圓的圓心為o,，半徑為r.經(jīng)過圓心o 作弦ab 的垂線oc,，d為垂足,，oc與ab 相交于點d，根據(jù)前面的結(jié)論,，d 是ab 的中點,，c是 ab? 的中點，cd 就是拱高
在圖中ab=37.4,，cd=7.2
ad=1/2ab=1/2×37.4=18.7
od=oc-cd=r-7.2
在rt△oad中,，由勾股定理，得
oa2=ad2+od2
即???????? r2=18.72+（r－7.2）2
解得：r≈27.9（m）
答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.
例2 如圖,，在⊙o中,，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm,，求⊙o的半徑.
解??????????????????????????
答：⊙o的半徑為5cm.
請大家圍繞以下兩個問題小結(jié)本節(jié)課
① 學(xué)習(xí)了一個與圓有關(guān)的重要定理，定 理的內(nèi)容是什么,？
② 在圓中解決與弦有關(guān)問題時經(jīng)常做的輔助線是什么,？
教材88頁練習(xí)1，2題
2教材95頁習(xí)題24.1?? 7,、8,、9；
垂直于弦的直徑說課稿 垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理篇三
第一課時 垂直于弦的直徑(一)
教學(xué)目標:
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程;能初步應(yīng)用垂徑定理進行計算和證實;
(2)進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題,、分析問題和解決問題的能力;
(3)通過圓的對稱性,培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀,并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛.
教學(xué)重點,、難點:
重點:①垂徑定理及應(yīng)用;②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.
難點:垂徑定理的證實.
教學(xué)學(xué)習(xí)活動設(shè)計:
(一)實驗活動,提出問題:
1、實驗:讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性,教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn):圓具有軸對稱,、中心對稱,、旋轉(zhuǎn)不變性.
2、提出問題:老師引導(dǎo)學(xué)生觀察,、分析,、發(fā)現(xiàn)和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
(二)垂徑定理及證實:
已知:在⊙o中,cd是直徑,ab是弦,cd⊥ab,垂足為e.
求證:ae=eb, = , = .
證實:連結(jié)oa、ob,則oa=ob.又∵cd⊥ab,∴直線cd是等腰△oab的對稱軸,又是⊙o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時,cd兩側(cè)的兩個半圓重合,a點和b點重合,ae和be重合, ,、 分別和 ,、 重合.因此,ae=be, = , = .從而得到圓的一條重要性質(zhì).
垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論:
cd為⊙o的直徑,cd⊥ab ae=eb, = , = .
為了運用的方便,不易出現(xiàn)錯誤,將原定理敘述為:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解,突出重點,分散難點,避免學(xué)生記混.
(三)應(yīng)用和練習(xí)
例1、如圖,已知在⊙o中,弦ab的長為8cm,圓心o到ab的距離為3cm,求⊙o的半徑.
分析:要求⊙o的半徑,連結(jié)oa,只要求出oa的長就可以了,因為已知條件點o到ab的距離為3cm,所以作oe⊥ab于e,而ae=eb= ab=4cm.此時解rt△aoe即可.
解:連結(jié)oa,作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm,∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,
在rt△aoe中,
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說明:①學(xué)生獨立完成,老師指導(dǎo)解題步驟;②應(yīng)用垂徑定理計算:涉及四條線段的長:弦長a,、圓半徑r,、弦心距d、弓形高h
關(guān)系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2
例2,、 已知:如圖,在以o為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦ab交小圓于c,、d兩點.求證ac=bd.(證實略)
說明:此題為基礎(chǔ)題目,對各個層次的學(xué)生都要求獨立完成.
練習(xí)1:教材p78中練習(xí)1,2兩道題.由學(xué)生分析思路,學(xué)生之間展開評價、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納:①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形,垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計算弦長,、半徑,、弦心距等問題的常用方法;②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
(四)小節(jié)與反思
教師組織學(xué)生進行:
知識:(1)圓的軸對稱性;(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法:(1)垂徑定理和勾股定理有機結(jié)合計算弦長,、半徑、弦心距等問題的方法,構(gòu)造直角三角形;(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距;(3)為了更好理解垂徑定理,一條直線只要滿足①過圓心;②垂直于弦;則可得③平分弦;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.
(五)作業(yè)
教材p84中11,、12,、13.
第二課時 垂直于弦的直徑(二)
教學(xué)目標:
(1)使學(xué)生把握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應(yīng)用;
(2)通過對推論的探討,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較,、分析,、發(fā)現(xiàn)問題,概括問題的能力.促進學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
(3)滲透一般到非凡,非凡到一般的辯證關(guān)系.
教學(xué)重點、難點:
重點:①垂徑定理的兩個推論;②對推論的探究方法.
難點:垂徑定理的推論1.
學(xué)習(xí)活動設(shè)計:
(一)分解定理(對定理的剖析)
1,、復(fù)習(xí)提問:定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧.
2,、剖析:
(教師指導(dǎo))
(二)新組合,發(fā)現(xiàn)新問題:(a層學(xué)生自己組合,小組交流,b層學(xué)生老師引導(dǎo))
, ,……(包括原定理,一共有10種)
(三)探究新問題,歸納新結(jié)論:
(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦對應(yīng)的兩條弧.
(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦對應(yīng)的兩條弧.
(3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.
(4)圓的兩條平行線所夾的弧相等.
(四)鞏固練習(xí):
練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
(在推論1(1)中,為什么要附加“不是直徑”這一條件.)
練習(xí)2,、按圖填空:在⊙o中,
(1)若mn⊥ab,mn為直徑,則________,________,________;
(2)若ac=bc,mn為直徑,ab不是直徑,則則________,________,________;
(3)若mn⊥ab,ac=bc,則________,________,________;
(4)若 = ,mn為直徑,則________,________,________.
(此題目的:鞏固定理和推論)
(五)應(yīng)用,、反思
例、四等分 .
(a層學(xué)生自主完成,對于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成)
教材p80中的第3題圖,是典型的錯誤作.
此題目的:是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法,通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動手能力;通過與教材p80中的第3題圖的對比,加深學(xué)生對感性知識的熟悉及理性知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
(六)小結(jié):
知識:垂徑定理的兩個推論.
能力:①推論的研究方法;②平分弧的作圖.
(七)作業(yè):教材p84中14題.
第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應(yīng)用
教學(xué)目的:
⑴要求學(xué)生把握垂徑定理及其推論,會解決有關(guān)的證實,計算問題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?提高學(xué)生方程思想,、分類討論思想的應(yīng)用意識.
⑶通過例4(趙州橋)對學(xué)生進行愛國主義的教育;并向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實踐,又反過來服務(wù)于實踐的辯證唯物主義思想
教學(xué)重點:垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
教學(xué)難點:如何進行輔助線的添加
教學(xué)內(nèi)容:
(一)復(fù)習(xí)
1.垂徑定理及其推論1:對于一條直線和一個圓來說,具備下列五個條件中的任何個,那么也具有其他三個:⑴ 直線過圓心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ;⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為:“知2推3”
推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計算(這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究)
涉及四條線段的長:弦長a,、圓半徑r、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系:r = h d ; r2 = d2 (a/2)2
3.常添加的輔助線:(學(xué)生歸納)
⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半徑 .構(gòu)造直角三角形
4.可用于證實:線段相等,、弧相等、角相等,、垂直關(guān)系;同時為圓中的計算,、作圖提供依據(jù).
(二)應(yīng)用例題:(讓學(xué)生分析,交流,解答,老師引導(dǎo)學(xué)生歸納)
例1、1300多年前,我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米,拱高(弧中點到弦的距離,也叫弓形的高)為7.2米,求橋拱的半徑(精確到0.1米).
說明:①對學(xué)生進行愛國主義的教育;②應(yīng)用題的解題思路:實際問題——(轉(zhuǎn)化,構(gòu)造直角三角形)——數(shù)學(xué)問題.
例2,、已知:⊙o的半徑為5 ,弦ab∥cd ,ab = 6 ,cd =8 .求:ab與cd間的距離.(讓學(xué)生畫圖)
解:分兩種情況:
(1)當弦ab,、cd在圓心o的兩側(cè)
過點o作ef⊥ab于e,連結(jié)oa、oc,
又∵ab∥cd,∴ef⊥cd.(作輔助線是難點,學(xué)生往往作oe⊥ab,of⊥ab,就得ef=oe of,錯誤的結(jié)論)
由ef過圓心o,ef⊥ab,ab = 6,得ae=3,
在rt△oea中,由勾股定理,得
,∴
同理可得:of=3
∴ef=oe of=4 3=7.
(2)當弦ab,、cd在圓心o的同側(cè)
同(1)的方法可得:oe=4,of=3.
∴.
說明:①此題主要是滲透分類思想,培養(yǎng)學(xué)生的嚴密性思維和解題方法:確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問題;②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3,、 已知:如圖,ab是⊙o的弦,半徑oc∥ab ,ab=24 ,oc = 15 .求:bc的長.
解:(略,過o作oe⊥ae于e ,過b作bf⊥oc于f , = )
說明:通過添加輔助線,構(gòu)造直角三角形,并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
(三)應(yīng)用練習(xí):
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示,若油面寬ab=600mm,求油的最大深度.
學(xué)生分析,教師適當點撥.
分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差,從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形,然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
(四)小結(jié):
1. 垂徑定理及其推論的應(yīng)用注重指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證實的問題;注重構(gòu)造思想,方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
(五)作業(yè):教材p84中15,、16題,p85中b組2,、3題.
探究活動
如圖,直線mn與⊙o交于點a、b,cd是⊙o的直徑,ce⊥mn于e,df⊥mn于f,oh⊥mn于h.
(1)線段ae,、bf之間存在怎樣的關(guān)系?線段ce,、oh、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
(2)當直線cd的兩個端點在mn兩側(cè)時,上述關(guān)系是否仍能成立?假如不成立,它們之間又有什么關(guān)系?并說明理由.
(答案提示:(1)ae=bf,ce df=2oh,(2)ae=bf仍然成立,ce df=,、df,、oh之間應(yīng)滿足)
垂直于弦的直徑說課稿 垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理篇四
教學(xué)目標1、使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個推論,；2,、會利用推論1作一些簡單的作圖題.3,、繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較,、分析,、概括問題的能力及動手操作的基本技能；教學(xué)重點： 垂徑定理的兩個推論.教學(xué)難點：垂徑定理的推論1.教學(xué)過程：一,、新課引入：同學(xué)們,，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的重要性質(zhì)垂徑定理.請兩名中等生回答定理內(nèi)容，并說出這個定理的題設(shè)和結(jié)論.這時教師引導(dǎo)學(xué)生觀察.若（1）過圓心,；（2）垂直于弦,；則（3）平分弦；（4）平分這條弦所對的優(yōu)??；（5）平分這條弦所對的劣弧.將（2）和（3）對調(diào)，得到一個命題,，將（1）和（3）對調(diào),，得到一個命題；然后將（2）和（4）或（5）對調(diào),，又得到一個命題.接著又將直徑cd旋轉(zhuǎn)到和弦ab平行時，又出現(xiàn)一個新命題.這時教師點題.“9.3垂直于弦的直徑（二）”.剛才得到的四個命題,，就是我們本節(jié)要學(xué)習(xí)的垂徑定理的兩個推論.教師這樣做的目的是讓學(xué)生明白垂徑定理的兩個推論,，就是在原來定理的題設(shè)和結(jié)論做一小小的調(diào)換而得到的，使學(xué)生感覺新知識不新,，容易產(chǎn)生興趣,，減輕學(xué)生的心理壓力，使學(xué)生充滿著自信投入到教學(xué)活動中.二,、新課講解：為了使學(xué)生真正體驗垂徑定理的重要,，在取材處理上，沒有象教科書那樣直接給出推論1,、推論2.而是將垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論進行對調(diào),，發(fā)現(xiàn)新命題，總結(jié)新命題,，教師概括出推論1.再進一步將垂徑定理的直徑旋轉(zhuǎn)到和弦ab平行時,，又得到一個新命題，也就是推論2.這樣不僅讓學(xué)生了解了新知識與舊知識之間的聯(lián)系,，也體現(xiàn)了知識的連貫性和系統(tǒng)性.這樣既開發(fā)了學(xué)生的智力,，又調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.同時又增強了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.學(xué)習(xí)提問：請回答垂徑定理內(nèi)容，并敘述定理的題設(shè)和結(jié)論.學(xué)生回答,，教師板書,，畫出圖形.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,，并且平分這條弦所對的兩條弧.若①過圓心，②垂直于弦,，則③平分弦④平分弦所對的優(yōu)弧,，⑤平分弦所對的劣弧.題? 設(shè)???????????????????????????????????? 結(jié)? 論將②和③對調(diào)，可得新命題為：
由于一個圓的任意兩條直徑互相平分,，但是它們不一定是互相垂直的.所以得到上面命題的結(jié)論,，必須加上“弦不是直徑”這一條件.教師用文字敘述為：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；將①和③對調(diào)，又得新命題為：④直線cd平分acb,，⑤直線cd平分adb.從而得到：（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,，并且平分弦所對的兩條弦；（3）平分弦所對的一條弧的直徑,，垂直平分弦,，并且平分弦所對的另一條弧.以上三條是垂徑定理的推論1；請同學(xué)繼續(xù)觀察,，當直徑cd旋轉(zhuǎn)與弦ab平行時,，可得新的命題為：
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.教師引導(dǎo)學(xué)生回述證明過程.數(shù)學(xué)表述成為：ab∥cd = .接著做練習(xí)：練習(xí)1：“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎,？為什么,？練習(xí)2：按圖7-14填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab,，mn為直徑,，則______，______,，______,；（2）若ac=bc，mn為直徑,，ab不是直徑,，則______，______,，______,；（3）若mn⊥ab，ac=cb,，則______,，______，（4）若 = ，mn為直徑,，則______,，______,，______.這兩個練習(xí)題學(xué)生回答,，學(xué)生評價.練習(xí)題做完后教師接著講例3.例3? 平分已知弧 .教師引導(dǎo)學(xué)生回答已知,，求作.
已知： .求作： 的中點.分析：要將 兩等分,，如何確定 的中點呢,？學(xué)生在教師的啟發(fā)下,，想出作圓的方法,，這時教師進一步提出問題,；連結(jié)ab,，作ab的垂直平分線交 于點e，為什么可以說e點是 的中點呢,？根據(jù)什么,？作圖由學(xué)生自己完成.教師這樣做的目的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平分弧的方法,，通過積極思考得到解決辦法，這樣理解深刻,，不容易出錯.練習(xí)3：p.80中3（由學(xué)生完成）略.三、課堂小結(jié)：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了垂徑定理的兩個推論.利用推論1舉出平分弧的作圖.四,、布置作業(yè)p.84中14題.補充作業(yè)：1.已知：如圖7-15,，ab為⊙o的直徑,，cd為弦,，ec⊥cd，fd⊥cd,，垂足分別為c,，d.求證：ae=bf.
2.已知：如圖7-16,，ab為⊙o直徑,，cd為弦，ae⊥cd,，bf⊥cd，垂足分別為e,，f.求證：（1）cf=de（2）∠oef=zofe
垂直于弦的直徑說課稿 垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理篇五
：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應(yīng)用垂徑定理進行計算和證明,；
(2)進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題,、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性,，培養(yǎng)學(xué)生對的審美觀,，并激發(fā)學(xué)生對的熱愛.
,、難點：
重點：①垂徑定理及應(yīng)用,；②從感性到理性的能力.
難點：垂徑定理的證明.
活動設(shè)計：
1,、實驗：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性,，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱,、中心對稱,、旋轉(zhuǎn)不變性.2,、提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察,、分析,、發(fā)現(xiàn)和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中，cd是直徑,，ab是弦,，cd⊥ab，垂足為e.
求證：ae=eb,， = ， = .
證明：連結(jié)oa,、ob,，則oa=ob.又∵cd⊥ab,，∴直線cd是等腰△oab的對稱軸，又是⊙o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時，cd兩側(cè)的兩個半圓重合,，a點和b點重合,，ae和be重合,， ,、 分別和 、 重合.因此,，ae=be,， = ， = .從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑,，cd⊥ab ae=eb,， = ， = .
為了運用的方便,，不易出現(xiàn)錯誤,，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦,；③平分弦,；④平分弦所對的優(yōu)弧,；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解,，突出重點，分散難點,，避免學(xué)生記混.
例1,、如圖，已知在⊙o中,，弦ab的長為8cm,，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑，連結(jié)oa,，只要求出oa的長就可以了,，因為已知條件點o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e,，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa,，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,，
在rt△aoe中,，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說明：①學(xué)生獨立完成，老師指導(dǎo)解題步驟,；②應(yīng)用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a,、圓半徑r、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系：r =h+d,； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖,，在以o為圓心的兩個同心圓中,，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點.求證ac=bd.（證明略）
說明：此題為基礎(chǔ)題目,，對各個層次的學(xué)生都要求獨立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1,，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開評價,、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形,，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計算弦長、半徑,、弦心距等問題的常用方法,；②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
教師組織學(xué)生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結(jié)合計算弦長,、半徑,、弦心距等問題的方法，構(gòu)造直角三角形,；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距,；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心,；②垂直于弦,；則可得③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧.
教材p84中11,、12、13.
：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應(yīng)用,；
（2）通過對推論的探討,，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較,、分析,、發(fā)現(xiàn)問題，概括問題的能力.促進學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊,，特殊到一般的辯證關(guān)系.
,、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
活動設(shè)計：
1,、復(fù)習(xí)提問：定理：平分這條弦,，并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導(dǎo)）
(二)新組合,，發(fā)現(xiàn)新問題：（a層學(xué)生自己組合,，小組交流，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
,， ,，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問題,，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1,、“平分弦的直徑垂直于弦,，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中,，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2、按圖填空：在⊙o中,，
（1）若mn⊥ab,，mn為直徑，則________,，________,，________；
（2）若ac＝bc,，mn為直徑,，ab不是直徑，則則________,，________,，________；
（3）若mn⊥ab,，ac＝bc,，則________，________，________,；
（4）若 = ,，mn為直徑，則________,，________,，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成,，對于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖,，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法，通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,；通過與教材p80中的第3題圖的對比,，加深學(xué)生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論,，會解決有關(guān)的證明,，計算問題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γ惶岣邔W(xué)生方程思想,、分類討論思想的應(yīng)用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學(xué)生進行愛國主義的,；并向?qū)W生滲透來源于實踐，又反過來服務(wù)于實踐的辯證唯物主義思想
：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
：如何進行輔助線的添加
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說,，具備下列五個條件中的任何個,，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ,；⑶ 平分弦 ,；⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a,、圓半徑r,、弦心距d、弓形高h
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ,；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等,、弧相等、角相等,、垂直關(guān)系,；同時為圓中的計算、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析,，交流,，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1,、1300多年前,，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,，它的跨度(弧所對的弦的長)為374米，拱高(弧中點到弦的距離,，也叫弓形的高)為72米,，求橋拱的半徑(精確到01米).
說明：①對學(xué)生進行愛國主義的；②應(yīng)用題的解題思路：實際問題——（轉(zhuǎn)化,，構(gòu)造直角三角形）——問題.
例2,、已知：⊙o的半徑為5 ，弦ab∥cd ,，ab =6 ,，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦ab、cd在圓心o的兩側(cè)
過點o作ef⊥ab于e,，連結(jié)oa,、oc，
又∵ab∥cd,，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點,，學(xué)生往往作oe⊥ab，of⊥ab,，就得ef=oe+of,，錯誤的結(jié)論）
由ef過圓心o，ef⊥ab,，ab =6,，得ae=3，
在rt△oea中,，由勾股定理,，得
，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當弦ab,、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4,，of=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問題,；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖,，ab是⊙o的弦,，半徑oc∥ab ，ab=24 ,，oc =15 .求：bc的長.
解：（略,，過o作oe⊥ae于e ，過b作bf⊥oc于f ,， =）
說明：通過添加輔助線,，構(gòu)造直角三角形,，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬ab=600mm,，求油的最大深度.
學(xué)生分析,，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高,，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差,，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問題,；注重構(gòu)造思想,，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15,、16題,，p85中b組2、3題.
如圖,，直線mn與⊙o交于點a,、b，cd是⊙o的直徑,，ce⊥mn于e,，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.
（1）線段ae,、bf之間存在怎樣的關(guān)系,？線段ce、oh,、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系,？并說明理由.
（2）當直線cd的兩個端點在mn兩側(cè)時，上述關(guān)系是否仍能成立,？如果不成立,，它們之間又有什么關(guān)系？并說明理由.
（答案提示：（1）ae=bf,，ce+df=2oh,，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=,、df,、oh之間應(yīng)滿足）
垂直于弦的直徑說課稿 垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理篇六
：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應(yīng)用垂徑定理進行計算和證明,；
(2)進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題,、分析問題和解決問題的能力；
(3)通過圓的對稱性,，培養(yǎng)學(xué)生對的審美觀,，并激發(fā)學(xué)生對的熱愛.
,、難點：
重點：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的能力.
難點：垂徑定理的證明.
活動設(shè)計：
1,、實驗：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性,，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱、中心對稱,、旋轉(zhuǎn)不變性.2,、提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析,、發(fā)現(xiàn)和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中,，cd是直徑，ab是弦,，cd⊥ab,，垂足為e.
求證：ae=eb， =,， =.
證明：連結(jié)oa,、ob，則oa=ob.又∵cd⊥ab,，∴直線cd是等腰△oab的對稱軸,，又是⊙o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時，cd兩側(cè)的兩個半圓重合,，a點和b點重合,，ae和be重合， ,、 分別和 ,、 重合.因此，ae=be,， =,， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑，cd⊥ab ae=eb,， =,， =.
為了運用的方便，不易出現(xiàn)錯誤,，將原定理敘述為：①過圓心,；②垂直于弦；③平分弦,；④平分弦所對的優(yōu)弧,；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解,，突出重點,，分散難點，避免學(xué)生記混.
例1,、如圖,，已知在⊙o中，弦ab的長為8cm,，圓心o到ab的距離為3cm,，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑，連結(jié)oa,，只要求出oa的長就可以了,，因為已知條件點o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e,，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa,，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,，
在rt△aoe中,，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說明：①學(xué)生獨立完成，老師指導(dǎo)解題步驟,；②應(yīng)用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a,、圓半徑r、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系：r =h+d,； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖,，在以o為圓心的兩個同心圓中,，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點.求證ac=bd.（證明略）
說明：此題為基礎(chǔ)題目,，對各個層次的學(xué)生都要求獨立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1,，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開評價,、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形,，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計算弦長、半徑,、弦心距等問題的常用方法,；②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
教師組織學(xué)生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結(jié)合計算弦長,、半徑,、弦心距等問題的方法，構(gòu)造直角三角形,；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距,；(3)為了更好理解垂徑定理,，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦,；則可得③平分弦,；④平分弦所對的優(yōu)弧,；⑤平分弦所對的劣弧.
教材p84中11,、12、13.
：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應(yīng)用,；
（2）通過對推論的探討,，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較,、分析,、發(fā)現(xiàn)問題，概括問題的能力.促進學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊,，特殊到一般的辯證關(guān)系.
,、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
活動設(shè)計：
1,、復(fù)習(xí)提問：定理：平分這條弦,，并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧.
2、剖析：
（教師指導(dǎo)）
(二)新組合,，發(fā)現(xiàn)新問題：（a層學(xué)生自己組合,，小組交流，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
,， ,，……（包括原定理，一共有10種）
(三)探究新問題,，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1,、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中,，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2,、按圖填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab,，mn為直徑,，則________，________,，________,；
（2）若ac＝bc，mn為直徑，ab不是直徑,，則則________,，________,，________,；
（3）若mn⊥ab，ac＝bc,，則________,，________，________,；
（4）若 =,，mn為直徑，則________,，________,，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成,，對于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖,，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法，通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,；通過與教材p80中的第3題圖的對比,，加深學(xué)生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論,，會解決有關(guān)的證明,，計算問題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γ惶岣邔W(xué)生方程思想,、分類討論思想的應(yīng)用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學(xué)生進行愛國主義的,；并向?qū)W生滲透來源于實踐，又反過來服務(wù)于實踐的辯證唯物主義思想
：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
：如何進行輔助線的添加
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說,，具備下列五個條件中的任何個,，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ,；⑶ 平分弦 ,；⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a,、圓半徑r,、弦心距d、弓形高h
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ,；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等,、弧相等、角相等、垂直關(guān)系,；同時為圓中的計算,、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析，交流,，解答,，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1、1300多年前,，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,，它的跨度(弧所對的弦的長)為374米，拱高(弧中點到弦的距離,，也叫弓形的高)為72米,，求橋拱的半徑(精確到01米).
說明：①對學(xué)生進行愛國主義的；②應(yīng)用題的解題思路：實際問題——（轉(zhuǎn)化,，構(gòu)造直角三角形）——問題.
例2,、已知：⊙o的半徑為5 ，弦ab∥cd ,，ab =6 ,，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦ab、cd在圓心o的兩側(cè)
過點o作ef⊥ab于e,，連結(jié)oa,、oc，
又∵ab∥cd,，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點,，學(xué)生往往作oe⊥ab，of⊥ab,，就得ef=oe+of,，錯誤的結(jié)論）
由ef過圓心o，ef⊥ab,，ab =6,，得ae=3，
在rt△oea中,，由勾股定理,，得
，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當弦ab,、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4,，of=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問題,；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3,、 已知：如圖,，ab是⊙o的弦，半徑oc∥ab ,，ab=24 ,，oc =15 .求：bc的長.
解：（略，過o作oe⊥ae于e ,，過b作bf⊥oc于f ,， =）
說明：通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形,，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示,，若油面寬ab=600mm，求油的最大深度.
學(xué)生分析,，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高,，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差,，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問題,；注重構(gòu)造思想,，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15,、16題,，p85中b組2、3題.
如圖,，直線mn與⊙o交于點a,、b，cd是⊙o的直徑,，ce⊥mn于e,，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.
（1）線段ae,、bf之間存在怎樣的關(guān)系,？線段ce、oh,、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系,？并說明理由.
（2）當直線cd的兩個端點在mn兩側(cè)時，上述關(guān)系是否仍能成立,？如果不成立,，它們之間又有什么關(guān)系？并說明理由.
（答案提示：（1）ae=bf,，ce+df=2oh,，（2）ae=bf仍然成立,，ce+df=、df,、oh之間應(yīng)滿足）
垂直于弦的直徑說課稿 垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理篇七
目標：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程,；能初步應(yīng)用垂徑定理進行計算和證明；
(2)進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題,、分析問題和解決問題的能力,；
(3)通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀,，并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛.
重點,、難點：
重點：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.
難點：垂徑定理的證明.
學(xué)習(xí)活動設(shè)計：
1,、實驗：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性,，引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱、中心對稱,、旋轉(zhuǎn)不變性.
2,、提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析,、發(fā)現(xiàn)和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中,，cd是直徑，ab是弦,，cd⊥ab,，垂足為e.
求證：ae=eb， =,， =.
證明：連結(jié)oa,、ob，則oa=ob.又∵cd⊥ab,，∴直線cd是等腰△oab的對稱軸,，又是⊙o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時,，cd兩側(cè)的兩個半圓重合,，a點和b點重合,，ae和be重合， ,、 分別和 ,、 重合.因此，ae=be,， =,， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑，cd⊥ab ae=eb,， =,， =.
為了運用的方便,，不易出現(xiàn)錯誤，將原定理敘述為：①過圓心,；②垂直于弦,；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解，突出重點,，分散難點,，避免學(xué)生記混.
例1、如圖,，已知在⊙o中,，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm,，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑,，連結(jié)oa，只要求出oa的長就可以了,，因為已知條件點o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e,，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa,，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,，
在rt△aoe中,，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說明：①學(xué)生獨立完成，老師指導(dǎo)解題步驟,；②應(yīng)用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a,、圓半徑r、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系：r =h+d,； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如圖,，在以o為圓心的兩個同心圓中,，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點.求證ac=bd.（證明略）
說明：此題為基礎(chǔ)題目,，對各個層次的學(xué)生都要求獨立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1,，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開評價,、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形,，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計算弦長,、半徑、弦心距等問題的常用方法,；②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
組織學(xué)生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性,；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結(jié)合計算弦長、半徑,、弦心距等問題的方法,，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距,；(3)為了更好理解垂徑定理,，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦,；則可得③平分弦,；④平分弦所對的優(yōu)弧,；⑤平分弦所對的劣弧.
教材p84中11,、12、13.
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垂直于弦的直徑說課稿 垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理篇八
：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程,；能初步應(yīng)用垂徑定理進行計算和證明,；
(2)進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力,；
(3)通過圓的對稱性,，培養(yǎng)學(xué)生對的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對的熱愛.
,、難點：
重點：①垂徑定理及應(yīng)用,；②從感性到理性的能力.
難點：垂徑定理的證明.
活動設(shè)計：
1、實驗：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性,，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱,、中心對稱、旋轉(zhuǎn)不變性.2,、提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察,、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中,，cd是直徑,，ab是弦，cd⊥ab,，垂足為e.
求證：ae=eb,， =， =.
證明：連結(jié)oa,、ob,，則oa=ob.又∵cd⊥ab,，∴直線cd是等腰△oab的對稱軸，又是⊙o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時,，cd兩側(cè)的兩個半圓重合,，a點和b點重合，ae和be重合,， ,、 分別和 、 重合.因此,，ae=be,， =， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑,，cd⊥ab ae=eb,， =， =.
為了運用的方便,，不易出現(xiàn)錯誤,，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦,；③平分弦,；④平分弦所對的優(yōu)弧,；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解,，突出重點，分散難點,，避免學(xué)生記混.
例1、如圖,，已知在⊙o中,，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm,，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑,，連結(jié)oa，只要求出oa的長就可以了,，因為已知條件點o到ab的距離為3cm,，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa,，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm,，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm，
在rt△aoe中,，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說明：①學(xué)生獨立完成,，老師指導(dǎo)解題步驟,；②應(yīng)用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r,、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2,、 已知：如圖,，在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c,、d兩點.求證ac=bd.（證明略）
說明：此題為基礎(chǔ)題目,，對各個層次的學(xué)生都要求獨立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路,，學(xué)生之間展開評價,、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計算弦長,、半徑,、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
教師組織學(xué)生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性,；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結(jié)合計算弦長,、半徑、弦心距等問題的方法,，構(gòu)造直角三角形,；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理,，一條直線只要滿足①過圓心,；②垂直于弦；則可得③平分弦,；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊?
教材p84中11,、12,、13.
：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應(yīng)用；
（2）通過對推論的探討,，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察,、比較、分析,、發(fā)現(xiàn)問題,，概括問題的能力.促進學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系.
、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論,；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
活動設(shè)計：
1,、復(fù)習(xí)提問：定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧.
2,、剖析：
（教師指導(dǎo)）
(二)新組合,，發(fā)現(xiàn)新問題：（a層學(xué)生自己組合，小組交流,，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
,， ，……（包括原定理,，一共有10種）
(三)探究新問題,，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦,，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中,，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2、按圖填空：在⊙o中,，
（1）若mn⊥ab,，mn為直徑，則________,，________,，________；
（2）若ac＝bc,，mn為直徑,，ab不是直徑，則則________,，________,，________；
（3）若mn⊥ab,，ac＝bc,，則________，________,，________；
（4）若 =,，mn為直徑,，則________，________,，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例,、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成，對于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖,，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法,，通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,；通過與教材p80中的第3題圖的對比，加深學(xué)生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法,；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論,，會解決有關(guān)的證明，計算問題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?；提高學(xué)生方程思想,、分類討論思想的應(yīng)用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學(xué)生進行愛國主義的；并向?qū)W生滲透來源于實踐,，又反過來服務(wù)于實踐的辯證唯物主義思想
：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
：如何進行輔助線的添加
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說,，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ,；⑵ 垂直于弦 ,；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ,；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）?
涉及四條線段的長：弦長a,、圓半徑r、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ,；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等,、角相等,、垂直關(guān)系；同時為圓中的計算,、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析,，交流，解答,，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1,、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,，它的跨度(弧所對的弦的長)為374米,，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為72米,，求橋拱的半徑(精確到01米).
說明：①對學(xué)生進行愛國主義的,；②應(yīng)用題的解題思路：實際問題——（轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形）——問題.
例2,、已知：⊙o的半徑為5 ,，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦ab,、cd在圓心o的兩側(cè)
過點o作ef⊥ab于e,，連結(jié)oa、oc,，
又∵ab∥cd,，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點，學(xué)生往往作oe⊥ab,，of⊥ab,，就得ef=oe+of，錯誤的結(jié)論）
由ef過圓心o,，ef⊥ab,，ab =6，得ae=3,，
在rt△oea中,，由勾股定理，得
,，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當弦ab,、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4，of=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想,，培養(yǎng)學(xué)生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問題,；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖,，ab是⊙o的弦,，半徑oc∥ab ，ab=24 ,，oc =15 .求：bc的長.
解：（略,，過o作oe⊥ae于e ，過b作bf⊥oc于f ,， =）
說明：通過添加輔助線,，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示,，若油面寬ab=600mm,，求油的最大深度.
學(xué)生分析，教師適當點撥.
分析：要求油的最大深度,，就是求有油弓形的高,，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形,，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問題；注重構(gòu)造思想，方程思想,、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15,、16題，p85中b組2,、3題.
如圖,，直線mn與⊙o交于點a、b,，cd是⊙o的直徑,，ce⊥mn于e，df⊥mn于f,，oh⊥mn于h.
（1）線段ae,、bf之間存在怎樣的關(guān)系？線段ce,、oh,、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.
（2）當直線cd的兩個端點在mn兩側(cè)時,，上述關(guān)系是否仍能成立,？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系,？并說明理由.
（答案提示：（1）ae=bf,，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立,，ce+df=,、df、oh之間應(yīng)滿足）
垂直于弦的直徑說課稿 垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理篇九
目標：
(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程,；能初步應(yīng)用垂徑定理進行計算和證明,；
(2)進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力,；
(3)通過圓的對稱性,，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛.
重點,、難點：
重點：①垂徑定理及應(yīng)用,；②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.
難點：垂徑定理的證明.
學(xué)習(xí)活動設(shè)計：
1、實驗：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性,，引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱,、中心對稱、旋轉(zhuǎn)不變性.
2,、提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察,、分析,、發(fā)現(xiàn)和提出問題.
通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.
已知：在⊙o中，cd是直徑,，ab是弦,，cd⊥ab，垂足為e.
求證：ae=eb,， =,， =.
證明：連結(jié)oa、ob,，則oa=ob.又∵cd⊥ab,，∴直線cd是等腰△oab的對稱軸，又是⊙o的對稱軸.所以沿著直徑cd折疊時,，cd兩側(cè)的兩個半圓重合,，a點和b點重合，ae和be重合,， ,、 分別和 、 重合.因此,，ae=be,， =， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：
cd為⊙o的直徑,，cd⊥ab ae=eb,， =， =.
為了運用的方便,，不易出現(xiàn)錯誤,，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦,；③平分弦,；④平分弦所對的優(yōu)弧,；⑤平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解,，突出重點，分散難點,，避免學(xué)生記混.
例1,、如圖，已知在⊙o中,，弦ab的長為8cm,，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.
分析：要求⊙o的半徑,，連結(jié)oa,，只要求出oa的長就可以了,，因為已知條件點o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e,，而ae＝eb＝ ab=4cm.此時解rt△aoe即可.
解：連結(jié)oa,，作oe⊥ab于e.
則ae=eb.
∵ab=8cm，∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,，
在rt△aoe中，
(cm).
∴⊙o的半徑為5 cm.
說明：①學(xué)生獨立完成,，老師指導(dǎo)解題步驟,；②應(yīng)用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r,、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2,、 已知：如圖,，在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c,、d兩點.求證ac=bd.（證明略）
說明：此題為基礎(chǔ)題目,，對各個層次的學(xué)生都要求獨立完成.
練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路,，學(xué)生之間展開評價,、交流.
指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計算弦長,、半徑,、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.
組織學(xué)生進行：
知識：(1)圓的軸對稱性,；(2)垂徑定理及應(yīng)用.
方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結(jié)合計算弦長,、半徑、弦心距等問題的方法,，構(gòu)造直角三角形,；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理,，一條直線只要滿足①過圓心,；②垂直于弦；則可得③平分弦,；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊?
教材p84中11,、12,、13.
目標：
（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應(yīng)用,；
（2）通過對推論的探討，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察,、比較,、分析、發(fā)現(xiàn)問題,，概括問題的能力.促進學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高
（3）滲透一般到特殊,，特殊到一般的辯證關(guān)系.
重點、難點：
重點：①垂徑定理的兩個推論,；②對推論的探究方法.
難點：垂徑定理的推論1.
1,、復(fù)習(xí)提問：定理：平分這條弦，并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧.
2,、剖析：
（指導(dǎo)）
(二)新組合,，發(fā)現(xiàn)新問題：（a層學(xué)生自己組合，小組交流,，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）
,， ，……（包括原定理,，一共有10種）
(三)探究新問題,，歸納新結(jié)論：
練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦,，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?
（在推論1（1）中,，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）
練習(xí)2、按圖填空：在⊙o中,，
（1）若mn⊥ab,，mn為直徑，則________,，________,，________；
（2）若ac＝bc,，mn為直徑,，ab不是直徑，則則________,，________,，________；
（3）若mn⊥ab,，ac＝bc,，則________，________,，________,；
（4）若 =,，mn為直徑，則________,，________,，________.
（此題目的：鞏固定理和推論）
例、四等分 .
（a層學(xué)生自主完成,，對于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）
教材p80中的第3題圖,，是典型的錯誤作.
此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法，通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,；通過與教材p80中的第3題圖的對比,，加深學(xué)生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
知識：垂徑定理的兩個推論.
能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.
教材p84中14題.
目的：
⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論,，會解決有關(guān)的證明，計算問題.
⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?；提高學(xué)生方程思想,、分類討論思想的應(yīng)用意識.
⑶通過例4（趙州橋）對學(xué)生進行愛國主義的；并向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實踐,，又反過來服務(wù)于實踐的辯證唯物主義思想
重點：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用
難點：如何進行輔助線的添加
內(nèi)容：
1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說,，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ,；⑵ 垂直于弦 ,；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ,；⑸ 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3”
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
2.應(yīng)用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）
涉及四條線段的長：弦長a,、圓半徑r、弦心距d,、弓形高h
關(guān)系：r =h+d?? ;? r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的輔助線：（學(xué)生歸納）
⑴ 作弦心距 ,；⑵ 作半徑 .------構(gòu)造直角三角形
4.可用于證明：線段相等、弧相等,、角相等,、垂直關(guān)系；同時為圓中的計算,、作圖提供依據(jù).
：（讓學(xué)生分析,，交流，解答,，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）
例1,、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,，它的跨度(弧所對的弦的長)為374米,，拱高(弧中點到弦的距離,，也叫弓形的高)為72米，求橋拱的半徑(精確到01米).
說明：①對學(xué)生進行愛國主義的,；②應(yīng)用題的解題思路：實際問題——（轉(zhuǎn)化,，構(gòu)造直角三角形）——數(shù)學(xué)問題.
例2、已知：⊙o的半徑為5 ,，弦ab∥cd ,，ab =6 ，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫圖）
解：分兩種情況：
（1）當弦ab,、cd在圓心o的兩側(cè)
過點o作ef⊥ab于e,，連結(jié)oa、oc,，
又∵ab∥cd,，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點，學(xué)生往往作oe⊥ab,，of⊥ab,，就得ef=oe+of，錯誤的結(jié)論）
由ef過圓心o,，ef⊥ab,，ab =6，得ae=3,，
在rt△oea中,，由勾股定理，得
,，∴
同理可得：of=3
∴ef=oe+of=4+3=7.
（2）當弦ab,、cd在圓心o的同側(cè)
同（1）的方法可得：oe=4，of=3.
∴.
說明：①此題主要是滲透分類思想,，培養(yǎng)學(xué)生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問題,；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.
例3、 已知：如圖,，ab是⊙o的弦,，半徑oc∥ab ，ab=24 ,，oc =15 .求：bc的長.
解：（略,，過o作oe⊥ae于e ，過b作bf⊥oc于f ,， =）
說明：通過添加輔助線,，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.
p8l中1題.
在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如圖所示，若油面寬ab=600mm,，求油的最大深度.
學(xué)生分析,，適當點撥.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高,，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差,，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.
1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.
2. 應(yīng)用定理可以證明的問題,；注重構(gòu)造思想,，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.
教材p84中15,、16題,，p85中b組2、3題.
如圖,，直線mn與⊙o交于點a,、b，cd是⊙o的直徑,，ce⊥mn于e,，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.
（1）線段ae,、bf之間存在怎樣的關(guān)系？線段ce,、oh,、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.
（2）當直線cd的兩個端點在mn兩側(cè)時,，上述關(guān)系是否仍能成立,？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系,？并說明理由.
（答案提示：（1）ae=bf,，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立,，ce+df=,、df、oh之間應(yīng)滿足）
