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基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)15分鐘篇一

本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì),，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，作為重要的基本不等式之一,，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，研究最值問(wèn)題,，此時(shí)基本不等式是必不可缺的,。基本不等式在知識(shí)體系中起了承上啟下的作用,，同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,，因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究,。

教學(xué)中注意用新課程理念處理教材,，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅要接受,、記憶,、模仿和練習(xí),，而且要自主探索,、動(dòng)手實(shí)踐,、合作交流,、閱讀自學(xué)，師生互動(dòng),，教師發(fā)揮組織者,、引導(dǎo)者、合作者的作用,，引導(dǎo)學(xué)生主體參與,、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過(guò)程,。通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣,。

依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和學(xué)生的實(shí)際情況,，特確定如下目標(biāo)：

1、知識(shí)與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式,，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的求最值問(wèn)題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,，學(xué)會(huì)構(gòu)造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,。

2、過(guò)程與方法目標(biāo)：按照創(chuàng)設(shè)情景,，提出問(wèn)題→剖析歸納證明→幾何解釋→應(yīng)用(最值的求法,、實(shí)際問(wèn)題的解決)的過(guò)程呈現(xiàn)。啟動(dòng)觀察,、分析,、歸納、總結(jié),、抽象概括等思維活動(dòng),，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法,，通過(guò)運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段,，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索基本不等式性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法,，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣,。

3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)置,，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來(lái),，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過(guò)數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界,，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考,、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì)。

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,，并從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程及應(yīng)用,。

難點(diǎn)：

1、基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件(簡(jiǎn)稱一正,、二定,、三相等);

2、利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值,。

本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——?dú)w納——探究;啟發(fā)誘導(dǎo),、講練結(jié)合的教學(xué)方法，以學(xué)生為主體,，以基本不等式為主線,，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索,。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解,。

多媒體課件,、板書

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)以問(wèn)題為中心,，以探究解決問(wèn)題的方法為主線展開(kāi),。這種安排強(qiáng)調(diào)過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,，使數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造,、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程,，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),。

具體過(guò)程安排如下：

創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題;

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,，現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái),，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).基于此,，設(shè)置如下情境：

上圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車,，代表中國(guó)人民熱情好客,。

[問(wèn)]你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?

本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式,。在此基礎(chǔ)上,，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式。

二,、抽象歸納：

一般地,，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b,，有,，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立,。

[問(wèn)]你能給出它的證明嗎?

學(xué)生在黑板上板書,。

特別地，當(dāng)a>0,，b>0時(shí),，在不等式中，以、分別代替a,、b，得到什么?

設(shè)計(jì)依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法,，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來(lái)源,，突破了重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且感受了其中的函數(shù)思想,，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

答案：,。

【歸納總結(jié)】

如果a，b都是正數(shù),，那么,，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立,。

我們稱此不等式為基本不等式,。其中稱為a，b的算術(shù)平均數(shù),，稱為a,，b的幾何平均數(shù)。

三,、理解升華：

1,、文字語(yǔ)言敘述：

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

2,、聯(lián)想數(shù)列的知識(shí)理解基本不等式

已知a,，b是正數(shù)，a是a,，b的等差中項(xiàng),，g是a，b的正的等比中項(xiàng),，a與g有無(wú)確定的大小關(guān)系?

兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們正的等比中項(xiàng),。

3、符號(hào)語(yǔ)言敘述：

若,，則有,，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，,。

[問(wèn)]怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”?(學(xué)生小組討論,，交流看法，師生總結(jié))

“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),，等號(hào)成立”的含義是：

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)15分鐘篇二

掌握不等式的基本性質(zhì),，會(huì)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行不等式的變形。

師：我們已學(xué)過(guò)等式,，不等式,，現(xiàn)在我們來(lái)看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子）,，請(qǐng)同學(xué)們觀察，哪些是等式,？哪些是不等式,？

第一組：1+2=3; a+b=b+a; s =ab; 4+x =7。

第二組：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6,， a+2 ≥0; 3≠4,。

生：第一組都是等式，第二組都是不等式,。

師：那么,，什么叫做等式？什么叫做不等式,？

生：表示相等關(guān)系的式子叫做等式,；表示不等式的式子叫做不等式。

師：在數(shù)學(xué)熾,，我們用等號(hào)“=”來(lái)表示相等關(guān)系,，用不等式號(hào)“〈”、“〉”或“≠”表示不等關(guān)系,，其中“＞”和“＜”表示大小關(guān)系,。表示大小關(guān)系的不等式是我們中學(xué)教學(xué)所要研究的。

前面我們學(xué)過(guò)了等式,，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎,？

生：等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去,，或都乘以,，或都除以（ 除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式,。

師：很好,！當(dāng)我們開(kāi)始研究不等式的時(shí)候，自然會(huì)聯(lián)想到,，是否有與等式相類似的性質(zhì),，也就是說(shuō)，如果在不等式的兩邊都加上,，或都減去,，或都乘以，或都除經(jīng)（除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù),，結(jié)果將會(huì)如何呢,？讓我們先做一些試驗(yàn)練習(xí)。

練習(xí)1 (回答)用小于號(hào)“<”或大于號(hào)“>”填空。

（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2,； （4）- 4_____-6

練習(xí)2（口答）分別從練習(xí)1中四個(gè)不等式出發(fā),，進(jìn)行下面的運(yùn)算。

（1）兩邊都加上（或都減去）5,，結(jié)果怎樣,？不等號(hào)的方向改變了嗎？

（2）兩邊都乘以（或都除以）5,，結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎,？

（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5）,，結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎,？

生：我們發(fā)現(xiàn)：在練習(xí)2中,，第（1）、（2）題的結(jié)果是不等號(hào)的方向不變,；在第（3）題中,，結(jié)果是不等號(hào)的方向改變了！

師：同學(xué)們觀察得很認(rèn)真,，大家再進(jìn)一步探討一下,，在什么情況下不等號(hào)的方向就會(huì)發(fā)生改變呢？

生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)的情況下,，不等號(hào)的方向要改變,。

師：有沒(méi)有不同的意見(jiàn)？大家都同意他的看法嗎,？可能還有同學(xué)不放心,，讓我們?cè)僮鲆恍┰囼?yàn)。

練習(xí)3（口答）分別在下面四個(gè)不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2,，看看不等號(hào)的方向是否改變：

7＞4,；-2＜6；-3＜-2,；-4＞-6,。

師：現(xiàn)在我們可以歸納出不等式的基本性質(zhì)，一般地說(shuō),，不等式的基本性質(zhì)有三條：

性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù),，不等號(hào)的方向 。

（讓同學(xué)回答,。）

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù),，不等號(hào)的方向 。（讓同學(xué)回答。）

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),，不等號(hào)的方向 ,。（讓同學(xué)回答。）

現(xiàn)在請(qǐng)大家翻開(kāi)課本,，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質(zhì),。

不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái),，先請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)一說(shuō)第一條基本性質(zhì),。

生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c,；如果a＞b,，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

師：對(duì)a和b有什么要求嗎,？對(duì)c有什么要求,？

生：沒(méi)有什么要求。

師：哪位同學(xué)來(lái)回答第二,、三條性質(zhì),？

生甲：如果a0， 那么acb,，且c>0,，那么ac>bc(或

生乙：如果a

bc(或 )；如果a>b,，且c<0,，那么ac

師：這兩條性質(zhì)中，對(duì)a,、b,、c有什么要求？

生：對(duì)a,、b沒(méi)什么要求,，特別要注意c是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

師：很好,，c可以為零嗎,？

生：c不能為零。因?yàn)閏為零時(shí),，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了,。

師：好！應(yīng)用剛才學(xué)到的基本性質(zhì),，我們來(lái)看下面的例題,。

[例1]按照下列條件,，寫出仍能成立的不等式：

（1）5＜9，兩邊都加上-3,；

（2）9＞4,，兩邊都減去10；

（3）-5＜3,，兩邊都乘以4,；

（4）14＞-8，兩邊都除以-2,。

解 （1）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,，在不等式59的兩邊都加上-3，不等號(hào)的方向不變,，所以

5+（-3）＜9+（-3）,，

2＜6

（2）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，得

9-10＞4-10

-1＞-6

（3）根據(jù)不等式基本性質(zhì)2,，得

-5×4＜3×4

-20＜12

（4）根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，得

14÷（-2）＜（-8）÷（-2）

-7＜4

[例2]設(shè)a＞b,，用不等號(hào)連結(jié)下列各題中的兩式：

（1）a-3與b-3;（2）2a與2b;（3）-a與-b,。

師：哪一位同學(xué)來(lái)做這題？解題時(shí),，要講清一步的理由,。

生甲：因?yàn)閍＞b，兩邊都減去3,，由不等式的基本性質(zhì)1,，得

a-3＞b-3．

師：很好，大家都是這樣做的嗎,？

生乙：我是這樣做的,，因?yàn)閍＞b，兩邊都加上（-3）,，由基本性質(zhì)1,，得

a-3＞b-3．

師：好！這兩位同學(xué)從不同的角度來(lái)分析題目,，都得到了正確的結(jié)論,。

生丙：因?yàn)閍＞b，2＞0,，由基本性質(zhì)2,，得2a＞2b。

生?。阂?yàn)閍＞b,，-1＞0,，由基本性質(zhì)3，得-a＞-b,。

師：下面我們來(lái)看一組較復(fù)雜的問(wèn)題,，請(qǐng)大家都來(lái)開(kāi)動(dòng)腦筋，認(rèn)真審題,，仔細(xì)分析,。[例3]判斷以下各題的結(jié)論是否正確，并說(shuō)明都理由：

(1)如果a>b,，且c>0,，那么ac>bd;

(2)如果a>b，那么ac2>bc2;

(3)如果ac2>bc2,，那么a>b;

(4)如果a>b,，那么a-b>0;

(5)如果ax>b，且a≠0,，那么x< ;

(6)如果a+b>a;

生甲：（1）不對(duì),，當(dāng)c=d≤0時(shí)，ac＞bd不成立,。

生乙：（2）也不對(duì),，因?yàn)閏2是一個(gè)非負(fù)數(shù)，當(dāng)c=0時(shí),，ac2＞bc2不成立,。

生丙：（3）對(duì)，因?yàn)閍c2＞bc2成立,，則c2一定大于零,，根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，得a＞b出,。

（4）對(duì),，根據(jù)不等式基本性質(zhì)，由a＞b,，兩邊減去b得a-b＞0,。

（5）不對(duì)，當(dāng)a＜0時(shí),，根據(jù)不等式基本性質(zhì)3,，得。

（6）不對(duì),，因?yàn)楫?dāng)b＜0時(shí),，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，得a+b＜a,；而當(dāng)b=0時(shí),，則有a+b=a,。

師：同學(xué)們回答得很好。今天我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì),，我們不僅要理解這三條性質(zhì),，還要能靈活運(yùn)用。

課外做以下作業(yè)：略,。

（1） 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué),，是分成兩個(gè)階段進(jìn)行的。在初中階段,，對(duì)不等式的基本性質(zhì),，并不作證明，只引導(dǎo)學(xué)生用試驗(yàn)的方法,，歸納出三條基本性質(zhì),。通過(guò)試驗(yàn)，由特殊到一般,，由具體到抽象,，這是一種認(rèn)識(shí)事物規(guī)律的重要方法?？茖W(xué)上的許多發(fā)現(xiàn),，大多離不開(kāi)試驗(yàn)和觀察。大數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門科學(xué),，需要觀察,，也需要試驗(yàn),?！蓖ㄟ^(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生掌握由試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，具有重要的意義,。當(dāng)然通過(guò)幾個(gè)特殊的試驗(yàn),，就得出一般的結(jié)論，是不嚴(yán)密的,。但對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō),，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴(yán)密的,。

（2） 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué),，還應(yīng)采用對(duì)比的方法。學(xué)生已學(xué)過(guò)等式和等式的性質(zhì),，為了便于和加深對(duì)不等式基本性質(zhì)的理解,，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)將不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)加以比較：強(qiáng)調(diào)等式的兩邊都加上或減去,，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個(gè)數(shù),，所得到的仍是等式,，這個(gè)數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零,；而在不等式的兩邊都加上或減去,，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個(gè)數(shù)，當(dāng)這個(gè)數(shù)是正數(shù),、負(fù)數(shù)或零時(shí),，對(duì)不等式的方向，有什么不同的影響,。通過(guò)這樣的對(duì)比,，不但可以復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的等式有關(guān)知識(shí)，便于引入新課,，而且也有利于掌握不等式的基本性質(zhì),。對(duì)比的方法，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法,。

（3） 在應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí),，學(xué)生對(duì)不等式兩邊是具體數(shù)，判定大小關(guān)系比較容易,。因?yàn)檫@實(shí)際上是有理數(shù)大小的比較,。對(duì)于不等式兩邊是含字母的代數(shù)式時(shí)，根據(jù)題給的條件,，運(yùn)用不等式基本性質(zhì)判別大小關(guān)系或不等號(hào)方向,，就比較困難。因?yàn)樗容^抽象,，特別是在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)2和性質(zhì)3時(shí),，學(xué)生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個(gè)用字母表示的數(shù)的符號(hào)是什么，或者還要對(duì)這個(gè)用字母表示的數(shù),，按正數(shù),、負(fù)數(shù)或零三種情況加以討論。在教學(xué)過(guò)程中,，對(duì)于這類題目,，采用討論法是比較好的。因?yàn)樵谟懻摃r(shí),，學(xué)生可以充分發(fā)表各種見(jiàn)解,。對(duì)于正確的見(jiàn)解，教師可以讓學(xué)生說(shuō)出解題的依據(jù),；對(duì)于錯(cuò)誤的見(jiàn)解,，教師可以進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)動(dòng)學(xué)生自己找出錯(cuò)誤的原因,，自己修正見(jiàn)解,。這樣,，有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有的放矢地解決問(wèn)題,，有利于深化對(duì)不等式基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí),。

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)15分鐘篇三

1．掌握不等式的三條基本性質(zhì)。

2．運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形,。

1．通過(guò)等式的性質(zhì),，探索不等式的性質(zhì)，初步體會(huì)“類比”的數(shù)學(xué)思想,。

2．通過(guò)觀察,、猜想、驗(yàn)證,、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng),，經(jīng)歷從特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程,，感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性,，發(fā)展思維能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

通過(guò)探究不等式基本性質(zhì)的活動(dòng),，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和大膽猜想,，樂(lè)于探究的良好思維品質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)： 探索不等式的三條基本性質(zhì)并能正確運(yùn)用它們將不等式變形,。

教學(xué)難點(diǎn)： 不等式基本性質(zhì)3的探索與運(yùn)用,。

自主探究——合作交流

情景引入：1．舉例說(shuō)明什么是不等式？

2．判斷下列各式是否成立,？并說(shuō)明理由,。

( 1 ) 若x－6=10, 則x＝16( )

( 2 ) 若3x=15, 則 x＝5 ( )

( 3 ) 若x－6＞10 則 x＞16( )

( 4 ) 若3x＞15 則 x＞5 ( )

【設(shè)計(jì)意圖】（1）、（2）小題喚起對(duì)舊知識(shí)等式的基本性質(zhì)的回憶,，（3）,、（4）小題引導(dǎo)學(xué)生大膽說(shuō)出自己的想法,。

問(wèn)題1．由等式性質(zhì)1你能猜想一下不等式具有什么樣的性質(zhì)嗎,？

等式性質(zhì)1：等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)（或同一個(gè)整式），所得結(jié)果仍是不等式,。

估計(jì)學(xué)生會(huì)猜：不等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)（或同一個(gè)整式）,，所得結(jié)果仍是不等式。教師引導(dǎo)：“＝”沒(méi)有方向性,，所以可以說(shuō)所得結(jié)果仍是等式,，而不等號(hào)：“＞，＜,，≥,，≤”具有方向性,，我們應(yīng)該重點(diǎn)研究它在方向上的變化。

問(wèn)題2．你能通過(guò)實(shí)驗(yàn),、猜想,，得出進(jìn)一步的結(jié)論嗎？

同學(xué)通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證得出結(jié)論,，師生共同總結(jié)不等式性質(zhì)1,。

問(wèn)題3．你能由等式性質(zhì)2進(jìn)一步猜想不等式還具有什么性質(zhì)嗎？

等式性質(zhì)2：等式兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是0）,，等式依然成立,。

估計(jì)學(xué)生會(huì)猜：不等式兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是0），不等號(hào)的方向不變,。

你能和小伙伴一起來(lái)驗(yàn)證你們的猜想嗎,？

學(xué)生在小組內(nèi)合作交流，發(fā)現(xiàn)了在不等式兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)時(shí),，不等號(hào)的方向會(huì)出現(xiàn)兩種情況,。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析、比較探索規(guī)律,，從而形成共識(shí),，歸納概括出不等式性質(zhì)2和3。

問(wèn)題4．在不等式兩邊都乘0會(huì)出現(xiàn)什么情況,？

問(wèn)題5．如果a,、b、c表示任意數(shù),，且a＜b,，你能用a、b,、c把不等式的基本性質(zhì)表示出來(lái)碼,？

【想一想】不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有什么相同之處，有什么不同之處,？

學(xué)生思考,，獨(dú)立總結(jié)異同點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生把二者進(jìn)行比較,，有助于加深對(duì)不等式基本性質(zhì)的理解,，促成知識(shí)的“正遷移”。

你能運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)解決問(wèn)題嗎,？

1,、課本62頁(yè)例3

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察每個(gè)問(wèn)題是由a＞b經(jīng)過(guò)怎樣的變形得到的，應(yīng)該應(yīng)用不等式的哪條基本性質(zhì)。由學(xué)生思考后口答,。

2,、你認(rèn)為在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)時(shí)哪一條性質(zhì)最容易出錯(cuò)，應(yīng)該怎樣記??？

3．火眼金睛

①a＞1, 則2a___a

②a＞3a,則 a ___ 0

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)變式訓(xùn)練，加深學(xué)生對(duì)新知的理解,，培養(yǎng)學(xué)生分析,、探究問(wèn)題的能力。

課堂小結(jié)：

這節(jié)課你有哪些收獲,？你認(rèn)為自己的表現(xiàn)如何,？教師引導(dǎo)學(xué)生回顧、思考,、交流,。

【設(shè)計(jì)意圖】回顧、總結(jié),、提高,。學(xué)生自覺(jué)形成本節(jié)的課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

思考題

咱們班的盛芳同學(xué)準(zhǔn)備在五,、一期間和他的爸爸,、媽媽外出旅游。青年旅行社的標(biāo)準(zhǔn)為：大人全價(jià),，小孩半價(jià),；方正旅行社的標(biāo)準(zhǔn)為：大人、小孩一律八折,。若兩家旅行社的基本價(jià)一樣,，你能幫盛芳同學(xué)考慮一下選擇哪家旅行社更合算嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),，解決生活中的問(wèn)題,，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)是描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段,。

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)15分鐘篇四

1,、創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,；

2,、從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程,；

3,、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路。

1,、對(duì)基本不等式從不同角度的探索證明,；

2,、通過(guò)基本不等式的證明過(guò)程體會(huì)分析法的證明思路。

三維目標(biāo)

一,、知識(shí)與技能

1,、創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,；

2,、嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程；

3,、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路,，即由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件,。

二,、過(guò)程與方法

1、采用探究法,，按照聯(lián)想,、思考、合作交流,、邏輯分析,、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；

2,、教師提供問(wèn)題,、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥,，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用,；

3、將探索過(guò)程設(shè)計(jì)為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題,，激發(fā)學(xué)生去積極思考,，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

三,、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1,、通過(guò)具體問(wèn)題的解決，讓學(xué)生去感受,、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考,，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納、抽象,，使學(xué)生感受數(shù)學(xué),、走進(jìn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣；

2,、學(xué)習(xí)過(guò)程中,，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與,，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣,，主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì),，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量,；

3、通過(guò)對(duì)富有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的解決,，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度,，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘,、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美,、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,。

導(dǎo)入新課

探究：上圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車,，代表中國(guó)人民熱情好客,，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

（教師用投影儀給出第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),，并介紹此會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客,。通過(guò)直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力,，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情）

推進(jìn)新課

師 同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎,？如何找,？

（沉靜片刻）

生 應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形。

師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢,？哪位同學(xué)能在黑板上畫出這個(gè)幾何圖形,？

（請(qǐng)兩位同學(xué)在黑板上畫。教師根據(jù)兩位同學(xué)的板演作點(diǎn)評(píng)）

（其中四個(gè)直角三角形沒(méi)有畫全等,，不形象,、直觀。此時(shí)教師用投影片給出隱含的規(guī)范的幾何圖形）

師 同學(xué)們觀察得很細(xì)致,，抽象出的幾何圖形比較準(zhǔn)確,。這說(shuō)明,，我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步刻苦努力，發(fā)奮圖強(qiáng),，也能作出和數(shù)學(xué)家趙爽一樣的成績(jī),。

（此時(shí),，每一位同學(xué)看上去都精神飽滿,，信心百倍，全神貫注地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來(lái)）

［過(guò)程引導(dǎo)］

師 設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a,、b,，那么，四個(gè)直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢,？

生 顯然正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和,。

師 一定嗎？

（大家齊聲：不一定,，有可能相等）

師 同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明,，從而說(shuō)明我們剛才直覺(jué)思維的合理性？

生 每個(gè)直角三角形的面積為,，四個(gè)直角三角形的面積之和為2ab,。正方形的邊長(zhǎng)為，所以正方形的面積為a2+b2,，則a2+b2≥2ab,。

師 這位同學(xué)回答得很好，表達(dá)很全面,、準(zhǔn)確,，但請(qǐng)大家思考一下，他對(duì)a2+b2≥2ab證明了嗎,？

生 沒(méi)有,，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達(dá)一下而已,。

師 回答得很好,。

（有的同學(xué)感到迷惑不解）

師 這樣的敘述不能代替證明。這是同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)經(jīng)常會(huì)犯的錯(cuò)誤,。實(shí)質(zhì)上,，對(duì)文字性語(yǔ)言敘述證明題來(lái)說(shuō)，他只是寫出了已知,、求證,，并未給出證明。

（有的同學(xué)竊竊私語(yǔ),，確實(shí)是這樣,，并沒(méi)有給出證明）

師 請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考,，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab,。

生 采用作差的方法,，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個(gè)完全平方數(shù),，它是非負(fù)數(shù),，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab,。

師 同學(xué)們思考一下,，這位同學(xué)的證明是否正確？

生 正確,。

［教師精講］

師 這位同學(xué)的證明思路很好,。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”,，它和根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是否一樣,。

生 實(shí)質(zhì)一樣，只是設(shè)問(wèn)的形式不同而已,。一個(gè)是比較大小,，一個(gè)是讓我們?nèi)プC明。

師 這位同學(xué)回答得很好,，思維很深刻,。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中,，還有另一種“比較法”,。

（教師此處的設(shè)問(wèn)是針對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)而言）

生 作商，用商和“1”比較大小,。

師 對(duì),。那么我們?cè)谟龅竭@類問(wèn)題時(shí)，何時(shí)采用作差,，何時(shí)采用作商呢,？這個(gè)問(wèn)題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問(wèn)題中自然會(huì)遇到,。

（此處設(shè)置疑問(wèn),，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問(wèn)題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生）

［合作探究］

師 請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下,，等號(hào)何時(shí)取到,。

生 當(dāng)四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時(shí)，即面積相等時(shí)取等號(hào),。

（學(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上,，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥）

師 從不等式a2+b2≥2ab的證明過(guò)程能否去說(shuō)明,。

生 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0，即a=b時(shí),，取等號(hào),。

師 這位同學(xué)回答得很好。請(qǐng)同學(xué)們看一下,，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號(hào)成立的條件是否一致,。

（大家齊聲）一致。

（此處意在強(qiáng)化學(xué)生的直覺(jué)思維與理性思維要合并使用,。就此問(wèn)題來(lái)講,，意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）

板書：

一般地,，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,、b，我們有a2+b2≥2ab,，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),，等號(hào)成立。

［過(guò)程引導(dǎo)］

師 這是一個(gè)很重要的不等式,。對(duì)數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論,，我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考,，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延,。只有這樣，我們用它來(lái)解決問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手,，也不會(huì)出錯(cuò),。

（同學(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么,。此時(shí),，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥、指引）

師 當(dāng)a＞0,b＞0時(shí),，請(qǐng)同學(xué)們思考一下,，是否可以用a、b代替此不等式中的a,、b,。

生 完全可以。

師 為什么,？

生 因?yàn)椴坏仁街械腶,、b∈r。

師 很好,，我們來(lái)看一下代替后的結(jié)果,。

板書：

即 (a＞0,b＞0),。

師 這個(gè)不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式。它很重要,，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用,，我們常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),，把a(bǔ)b叫做正數(shù)a,、b的幾何平均數(shù)，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),。

（此處意在引起學(xué)生的重視,，從不同的角度去理解）

師 請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢,？

（此時(shí),，同學(xué)們信心十足，都說(shuō)能,。教師利用投影片展示推導(dǎo)過(guò)程的填空形式）

要證：,，①

只要證a+b≥2，②

要證②,，只要證：a+b-2≥0,，③

要證③，只要證：④

顯然④是成立的,，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),，④中的等號(hào)成立，這樣就又一次得到了基本不等式,。

（此處以填空的形式,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟,，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會(huì)分析法的證明思路,，加大了證明基本不等式的探究力度）

［合作探究］

老師用投影儀給出下列問(wèn)題,。

如圖，ab是圓的直徑,，點(diǎn)c是ab上一點(diǎn),，ac=a,bc=b。過(guò)點(diǎn)c作垂直于ab的弦dd′,，連結(jié)ad,、bd。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎,？

（本節(jié)課開(kāi)展到這里,，學(xué)生從基本不等式的證明過(guò)程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法，對(duì)基本不等式也已經(jīng)很熟悉,，這就具備了探究這個(gè)問(wèn)題的知識(shí)與情感基礎(chǔ)）

［合作探究］

師 同學(xué)們能找出圖中與a,、b有關(guān)的線段嗎,？

生 可證△acd ∽△bcd,所以可得。

生 由射影定理也可得,。

師 這兩位同學(xué)回答得都很好,，那ab與分別又有什么幾何意義呢？

生表示半弦長(zhǎng),，表示半徑長(zhǎng),。

師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？

生 由半徑大于半弦可得,。

師 這位同學(xué)回答得是否很嚴(yán)密,？

生 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)c與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)可取等號(hào),，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0),。

師 本節(jié)課我們研究了哪些問(wèn)題？有什么收獲,？

生 我們通過(guò)觀察分析第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)得出了不等式a2+b2≥2ab,。

生 由a2+b2≥2ab,當(dāng)a＞0,，b＞0時(shí),，以、分別代替a,、b,，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進(jìn)而用不等式的性質(zhì),，由結(jié)論到條件,，證明了基本不等式。

生 在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到基本不等式,。

（此處,，創(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的機(jī)會(huì)，目的是培養(yǎng)學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力,，也有利于課外學(xué)生歸納,、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高）

師 大家剛才總結(jié)得都很好,，本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式,。并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀,，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0,，b＞0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,。在對(duì)不等式的證明過(guò)程中,，體會(huì)到一些證明不等式常用的思路,、方法。以后,，同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運(yùn)用,。

活動(dòng)與探究：已知a、b都是正數(shù),，試探索, ,,的大小關(guān)系,，并證明你的結(jié)論。

分析：（方法一）由特殊到一般,，用特殊值代入,，先得到表達(dá)式的大小關(guān)系，再由不等式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)證明,。

（方法二）創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景,。設(shè)ac=a,bc=b，用a,、b表示線段ｃｅ,、ｏｅ、ｃｄ,、ｄｆ的長(zhǎng)度,，由ｃｅ＞ｏｅ＞ｃｄ＞ｄｆ可得。

基本不等式的證明

一,、實(shí)際情景引入得到重要不等式

a2＋b2≥2ab

二,、定理

若a＞0，b＞0

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)15分鐘篇五

本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展,，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中,，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),，讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中,，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材,，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察,、歸納、抽象,，完成量與量的比較過(guò)程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái).

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的,、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用,，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論,，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

在本節(jié)教學(xué)中,，教師可讓學(xué)生閱讀書中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具,，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí).

1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論,，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系,，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系.

2.會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍.

3.通過(guò)溫故知新,，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí),，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.

教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,，判斷二次式的大小和范圍.

教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星,、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望,，自然地引入新課.

思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮,、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近,、百米賽跑的時(shí)間,、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想,，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察,、歸納,，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望,，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí),，由此引入新課.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?

2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中,，既有相等關(guān)系,，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎?

3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?

4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系?

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系,，可用符號(hào)“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a>b”“a

教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論,，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下,，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.

實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32 ℃,，最低氣溫26 ℃.

實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)a,、b，若點(diǎn)a在點(diǎn)b的左邊,，則xa

實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù),，則這個(gè)數(shù)大于或等于零.

實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短.

實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

實(shí)例6：限速40 km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí),，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40 km/h.

實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好,，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科,，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光,、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察,、歸納、抽象,，完成這些量與量的比較過(guò)程,，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么,，我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到,，用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6,，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái).實(shí)例1,，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3,，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù),，則x≥0.實(shí)例5，|ac|+|bc|>|ab|,，如下圖.

|ab|+|bc|>|ac|,、|ac|+|bc|>|ab|、|ab|+|ac|>|bc|.

|ab|-|bc|<|ac|,、|ac|-|bc|<|ab|,、|ab|-|ac|<|bc|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.

實(shí)例6，若用v表示速度,，則v≤40 km/h.實(shí)例7,，f≥2.5%,，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足,，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,，這是不對(duì)的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

對(duì)以上問(wèn)題，教師讓學(xué)生輪流回答,，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論.

討論結(jié)果：

(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中,，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.

(4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b,，a>b,，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

應(yīng)用示例

例1(教材本節(jié)例1和例2)

活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.

點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解,，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.

變式訓(xùn)練

1.若f(x)=3x2-x+1,，g(x)=2x2+x-1,，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )

a.f(x)>g(x) b.f(x)=g(x)

c.f(x)

答案：a

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

2.已知x≠0,，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0,，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);

(2)a4-b4與4a3(a-b).

活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來(lái)確定.本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說(shuō)理中,，要理由充分,，不可忽略這點(diǎn).

解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

∵a>0，b>0且a≠b,，∴a+b>0,，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào)),，

又a≠b,，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

∴a4-b4<4a3(a-b).

點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào).變形常用的手段是分解因式和配方,，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”,，也可兩者并用.

變式訓(xùn)練

已知x>y,，且y≠0，比較xy與1的大小.

活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系,，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.

解：xy-1=x-yy.

∵x>y,，∴x-y>0.

當(dāng)y<0時(shí)，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

當(dāng)y>0時(shí),，x-yy>0,，即xy-1>0.∴xy>1.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負(fù)情況不同,，所以需對(duì)y分類討論.

例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定,，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,，且這個(gè)比值越大,，住宅的采光條件越好.試問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了,，還是變壞了?請(qǐng)說(shuō)明理由.

活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,，然后比較前后比值的大小，采用作差法.

解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a,、b,，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問(wèn)題的要求a

由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,，

因此a+mb+m>ab≥10%.

所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.

點(diǎn)評(píng)：一般地,，設(shè)a,、b為正實(shí)數(shù)，且a0,，則a+mb+m>ab.

變式訓(xùn)練

已知a1,，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列,，公比q≠1,，則( )

a.a1+a8>a4+a5 b.a1+a8

c.a1+a8=a4+a5 d.a1+a8與a4+a5大小不確定

答案：a

解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q>0,，即1+q>0.

又∵q≠1,，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

知能訓(xùn)練

1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為( )

a.3 b.2 c.1 d.0

2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.

答案：

1.c解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,，

③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

∴只有①恒成立.

2.解：因?yàn)?x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,，

所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

課堂小結(jié)

1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng),，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn),，聯(lián)系舊知,，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中.

2.教師畫龍點(diǎn)睛,，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方.鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究.

作業(yè)

習(xí)題3—1a組3;習(xí)題3—1b組2.

設(shè)計(jì)感想

1.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化.經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇,、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過(guò)程,，不宜長(zhǎng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ?各種教學(xué)方法中,，沒(méi)有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng).也就是說(shuō),，世上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方法.針對(duì)個(gè)性，靈活變化,，因材施教才是成功的施教靈藥.

2.本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,，可以說(shuō)與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).作為本章開(kāi)始,，可以適當(dāng)開(kāi)闊一些,，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái),，但不宜過(guò)多向外拓展,，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響.

3.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì),，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題,，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度,，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升.

備課資料

備用習(xí)題

1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.

2.試判斷下列各對(duì)整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .

4.若x

5.設(shè)a>0,，b>0,，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.

參考答案：

1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

=1>0,，

∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

=m2-2m+5+2m-5

=m2.

∵m2≥0,，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

∴m2-2m+5≥-2m+5.

(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

=a2-4a+3+4a-1

=a2+2.

∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

∴a2-4a+3>-4a+1.

3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2

=1+x+x24-(x+1)

=x24,，

又∵x>0,，∴x24>0.

∴(1+x2)2>(1+x)2.

由x>0，得1+x2>1+x.

4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y).

∵x0,，x-y<0.

∴-2xy(x-y)>0.

∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,，且a≠b，

當(dāng)a>b>0時(shí),，ab>1,，a-b>0，

則(ab)a-b>1,，于是aabb>abba.

當(dāng)b>a>0時(shí),，0

則(ab)a-b>1.

于是aabb>abb a.

綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a,、b,，都有aabb>abba.

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)15分鐘篇六

1.通過(guò)具體情境讓學(xué)生感受和體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察,、歸納,、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué),、走進(jìn)數(shù)學(xué),、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。

2．建立不等觀念,，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系,。

3．了解不等式或不等式組的實(shí)際背景。

4.能用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,。

重點(diǎn):

１.通過(guò)具體的問(wèn)題情景,，讓學(xué)生體會(huì)不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性。

２.用不等式或不等式組表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系,，并用不等式或不等式組研究含有簡(jiǎn)單的不等關(guān)系的問(wèn)題,。

3.理解不等式或不等式組對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值。

難點(diǎn):

1.用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示不等關(guān)系,。

2.用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的含有不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題,。

1.采用探究法，按照閱讀,、思考,、交流、分析,，抽象歸納出數(shù)學(xué)模型,，從具體到抽象再?gòu)某橄蟮骄唧w的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。

2.教師提供問(wèn)題,、素材,，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用,。

3.設(shè)計(jì)教典型的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

教學(xué)環(huán)節(jié)

教師活動(dòng)

學(xué)生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課

日常生活中,，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系,。你能舉出一些例子嗎？

實(shí)例1.某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道,，最高氣溫35℃,，最低氣溫29℃,。

實(shí)例2.若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零,。

實(shí)例3.兩點(diǎn)之間線段最短,。

實(shí)例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊,。

引導(dǎo)學(xué)生想生活中的例子和學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)中的例子,。在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生肯定會(huì)迫不及待的能說(shuō)出很多個(gè)例子來(lái),。即活躍了課堂氣氛,，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

推進(jìn)新課

同學(xué)們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實(shí)生活,，又考慮到數(shù)學(xué)上常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系,，非常好。而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標(biāo)題《不等關(guān)系與不等式》,，所舉的實(shí)例都是反映不等量的關(guān)系,。

（下面利用電腦投影展示兩個(gè)實(shí)例）

實(shí)例5：限時(shí)40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行使時(shí),，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40km/h,。

實(shí)例6：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

同學(xué)們認(rèn)真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子,。

讓學(xué)生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關(guān)系來(lái)描述

過(guò)程引導(dǎo)

能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科,，但是我們還要能用數(shù)學(xué)的眼光,、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、進(jìn)行觀察,、歸納,、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程,，那么我們用什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢,？

什么是不等式呢？

用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.

能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái),，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過(guò)程通過(guò)對(duì)不等式數(shù)學(xué)模型的研究,，反過(guò)來(lái)作用于現(xiàn)實(shí)生活，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的,。

思考并回答老師的問(wèn)題：可以用不等式或不等式組來(lái)表示不等關(guān)系,。

經(jīng)過(guò)老師的啟發(fā)和點(diǎn)撥，學(xué)生可以自己總結(jié)出：用不等號(hào)將兩個(gè)解析試連接起來(lái)所成的式子叫不等式。

目的是讓學(xué)生回憶不等式的一些基本形式,，并說(shuō)明不等號(hào)≤,，≥的含義，是或的關(guān)系,?；貞浟瞬坏仁降母拍睿坏仁浇M學(xué)生自然而然就清楚了,。

此時(shí)學(xué)生已經(jīng)迫不及待地想說(shuō)出自己的觀點(diǎn)了。

合作探究

（一）,。下面我們把上述實(shí)例中的不等量的關(guān)系用不等式或不等式組一一的表示出來(lái),，那應(yīng)該怎么表示呢？

這兩位同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確,？

老師要表?yè)P(yáng)學(xué)生：“很好,！這樣思考問(wèn)題很嚴(yán)密?！睉?yīng)該用不等式組來(lái)表示此實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系,，也可以用“且”的形式來(lái)表達(dá)。

（二）,。問(wèn)題一：設(shè)點(diǎn)a與平面的距離為d,，b為平面上的任意一點(diǎn)。

請(qǐng)同學(xué)們用不等式或不等式組來(lái)表示出此問(wèn)題中的不等量的關(guān)系,。

老師提示：借助于圖形,，這個(gè)問(wèn)題是不是可以解決？

（下面讓學(xué)生板演,，結(jié)合三角形草圖來(lái)表達(dá)）

問(wèn)題（二）：某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售,，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,，若單價(jià)每提高0.1元,，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元,，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢,？

是不是還有其他的思路？

為什么可以這樣設(shè),？

很好,，請(qǐng)繼續(xù)講。

這位學(xué)生回答的很好,，表述得很準(zhǔn)確,。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)兩種解法作比較。

問(wèn)題（三）：某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,，按照生產(chǎn)的要求,，600mm鋼管的數(shù)量不超過(guò)500mm鋼管的3倍,。怎樣寫出滿足上述所有不等式關(guān)系的不等式？

假設(shè)截得500mm的鋼管x根,，截得600mm的鋼管y根,。根據(jù)題意，應(yīng)當(dāng)有什么樣的不等量關(guān)系呢,？

右邊的三個(gè)不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢,？

這位學(xué)生回答得很好，思維很嚴(yán)密,，那么該用怎樣的不等式組來(lái)表示此問(wèn)題中的不等關(guān)系呢,？

通過(guò)上述三個(gè)問(wèn)題的探究，同學(xué)們對(duì)如何用不等式或不等式組把實(shí)際問(wèn)題中隱藏的不等量關(guān)系表示出來(lái),，這一點(diǎn)掌握得很好,。請(qǐng)同學(xué)們完成書本練習(xí)第74頁(yè)1，2,。

課堂小結(jié)：

1.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決實(shí)際生活中的問(wèn)題,。

2.數(shù)學(xué)和我們的生活聯(lián)系非常密切。

3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組,，并且能用它來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的大量不等量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題,。還要注意思維要嚴(yán)密，規(guī)范,，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用,。

布置作業(yè)：

第75頁(yè)習(xí)題3.1 a組4，5,。

29℃≤t≤35℃

x≥0

|ac|+|bc|>|ab|

|ab|+|bc|>|ac|,、|ac|+|bc|>|ab|、|ab|+|ac|>|bc|.

|ab|-|bc|<|ac|,、|ac|-|bc|<|ab|,、

|ab|-|ac|<|bc|.交被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以。

如果用表示速度,，則v≤40km/h.

f≥2.5%或p≥2.3%

學(xué)生自己糾正了錯(cuò)誤：這種表達(dá)是錯(cuò)誤的,，因?yàn)閮蓚€(gè)不等量關(guān)系要同時(shí)滿足，所以應(yīng)該用不等式組來(lái)表示次實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系,，即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

過(guò)點(diǎn)a作ac⊥平面于點(diǎn)c,，則d=|ac|≤|ab|

可設(shè)雜志的定價(jià)為x元，則銷售量就減少萬(wàn)本,。銷售量變?yōu)?8-)萬(wàn)本,，則總收入為(8-)x萬(wàn)元。即銷售的總收入為不低于20萬(wàn)元的不等式表示為(8-)x≥20.

解法二：可設(shè)雜志的單價(jià)提高了0.1n元，（n）

我只考慮單價(jià)的增量,。

那么銷售量減少了0.2n萬(wàn)本,，單價(jià)為（2.5+0.1n）元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬(wàn)元的不等式,，表示為（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.

截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)4000mm,。

截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍。

截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)數(shù),。

它們是同時(shí)滿足條件,，應(yīng)該是且的關(guān)系。由實(shí)際問(wèn)題的意義,，還應(yīng)有x,y要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系,，可以用下面的不等式組來(lái)表示：

如果學(xué)生沒(méi)有想到的話，老師可以在黑板上板演示意圖,，啟發(fā)學(xué)生考慮三邊的大小關(guān)系。

此時(shí)啟發(fā)學(xué)生“或”字可以嗎,？學(xué)生沒(méi)有了聲音,，他們?cè)谒伎贾５降仔胁恍心?？有的回答“行”,，有的回答“不行”?/p>

此時(shí)學(xué)生們?cè)谒伎迹瑫r(shí)間長(zhǎng)的話,，老師要及時(shí)點(diǎn)撥,。

讓學(xué)生知道，在解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想,，以形助數(shù),，下面有學(xué)生的聲音，有學(xué)生在討論,，有的學(xué)生還有疑問(wèn),。老師注意關(guān)注學(xué)生的思維狀況，并且及時(shí)的加以指導(dǎo),。

此時(shí)學(xué)生已經(jīng)真正進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài),，老師再給出問(wèn)題（三）使學(xué)生一直處于跟隨老師積極思考和解決問(wèn)題的狀態(tài)。問(wèn)題是教學(xué)研究的核心,，以問(wèn)題展示的形式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與探究意識(shí),。

本節(jié)課內(nèi)容很多，都是不等式和不等式組的有關(guān)問(wèn)題,，還有很多是生活中的實(shí)例,，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數(shù)學(xué)生都能很積極地回答問(wèn)題,，使課堂的學(xué)習(xí)氣氛很濃,，確實(shí)也做到了愉快教學(xué)。設(shè)計(jì)是按照老師引導(dǎo)式教學(xué),，邊講授邊引導(dǎo),，啟發(fā)學(xué)習(xí)思考問(wèn)題及能自己解決問(wèn)題，鍛煉學(xué)習(xí)能自主的學(xué)習(xí)能力,。

一是課堂容量適中,，二是實(shí)例很好，接近生活,，學(xué)生感興趣,。三是學(xué)生回答問(wèn)題積極踴躍，和老師配合很好,。四是多媒體應(yīng)用的恰到好處,，教學(xué)設(shè)備很完善，老師也能很熟練的應(yīng)用,。

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)15分鐘篇七

1．知識(shí)與技能:使學(xué)生感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,，在學(xué)生了解了一些不等式（組）產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容,。

2.過(guò)程與方法:以問(wèn)題方式代替例題,，學(xué)習(xí)如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系,；

3．情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的感受,、體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)狀況及理解程度,，注重問(wèn)題情境,、實(shí)際背景的的設(shè)置，通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究思考,，廣泛參與,，改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量,。

重點(diǎn)：用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系,，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問(wèn)題，理解不等式（組）對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值,。

難點(diǎn)：用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系,。

[創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境]

問(wèn)題1：設(shè)點(diǎn)a與平面的距離為d，b為平面上的任意一點(diǎn),，則d≤,。

問(wèn)題2：某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售,，可以售出8萬(wàn)本。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,，若單價(jià)每提高0.1元,，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元,，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬(wàn)元,？

分析：若雜志的定價(jià)為x元，則銷售的總收入為萬(wàn)元,。那么不等關(guān)系“銷售的總收入不低于20萬(wàn)元”可以表示為不等式≥20

問(wèn)題3：某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍,。怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢,？

分析：假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根..

根據(jù)題意,，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：

（1）解得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)4000mm,；

（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管數(shù)量的3倍；

（3）解得兩鐘鋼管的數(shù)量都不能為負(fù),。

由以上不等關(guān)系,，可得不等式組：

[練習(xí)]第82頁(yè)，第1,、2題。

[知識(shí)拓展]

設(shè)問(wèn)：等式性質(zhì)中：等式兩邊加（減）同一個(gè)數(shù)（或式子）,，結(jié)果仍相等,。不等式是否也有類似的性質(zhì)呢？

從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)出發(fā),，可以證明下列常用的不等式的基本性質(zhì)：

（1）

（2）

（3）

（4）

證明：

例1講解（第82頁(yè)）

[練習(xí)]第82頁(yè),，第3題。

[思考]：利用以上基本性質(zhì),，證明不等式的下列性質(zhì)：

[小結(jié)]：1.現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,；

2.利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系；

[作業(yè)]：習(xí)題3.1（第83頁(yè)）：（a組）4,、5,；（b組）2.

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)15分鐘篇八

1、知識(shí)與技能：

理解基本不等式的內(nèi)容及其證明,，能應(yīng)用基本不等式解決求最值,、證明不等式、比較大小,、求取值范圍等問(wèn)題

2,、過(guò)程與方法：

能夠理解并建立不等式的知識(shí)鏈

3,、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

通過(guò)運(yùn)用基本不等式解答實(shí)際問(wèn)題,，提高用數(shù)學(xué)手段解答現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題的能力和意識(shí)

4,、本節(jié)重點(diǎn)：

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，理解基本不等式,，并從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程

5,、本節(jié)難點(diǎn)：

應(yīng)用基本不等式求最值

第24屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)如圖：

四個(gè)以a,，b為直角邊的直角△abc,，組成正方形abcd

則

如圖可知： 即

當(dāng)且僅當(dāng)小正方形efgh面積為0時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取得等號(hào)

（一）基本不等式的推證：

1,、重要不等式與基本不等式

由引入中提到的重要不等式,，將其中的用代換，

得到基本不等式,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),，即時(shí)取得等號(hào)。

特別注意,，重要不等式的適用范圍是全體實(shí)數(shù),，

而基本不等式的使用需要

2、基本不等式的幾種表述方式

平均數(shù)角度：兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)（均值不等式定理）

數(shù)列角度：兩正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)

探究：基本不等式的幾何表示：半徑不小于半弦長(zhǎng)

3,、分析法推證基本不等式

要證,，只需證明（2）。要證明（2）只需證明（3）,。

要證明（3）只需證明（4）,。（4）式顯然成立，故得證,。

（二）基本不等式的應(yīng)用與提高：

1,、你是設(shè)計(jì)師！

（1）春天到了,，學(xué)校決定用籬笆圍一個(gè)面積為100平米的花圃種花,。有以下兩種方案：

圓形花圃：造價(jià)12元/米

矩形花圃：造價(jià)10元/米

你覺(jué)得哪個(gè)方案更省錢呢？

分析及解答：因?yàn)槌踔袑W(xué)習(xí)過(guò)平面幾何,，同學(xué)們大都知道,，同樣長(zhǎng)度的籬笆圍圓形會(huì)比圍矩形得到的面積大，由此可知,，同樣的面積肯定是為圓形用的材料省,。但是本題涉及造價(jià)問(wèn)題，兩種籬笆的花費(fèi)不同,。圓形籬笆雖然需要的材料少,，但是每米的花費(fèi)高,，所以到底應(yīng)該用哪個(gè)方案需要?jiǎng)邮炙阋幌虏拍苤馈Ｔ谶@里讓學(xué)生分成兩派,，可以自己選擇一個(gè)認(rèn)為比較省錢的方案去計(jì)算,。

圓形花圃：

矩形花圃：設(shè)兩邊為x，y,，,，故當(dāng)x=y時(shí)花費(fèi)最少為400元

（2）現(xiàn)在只有36米的籬笆可用，怎么樣設(shè)計(jì)才能使得矩形花圃的面積最大,？

解：

（3）有人出了個(gè)主意,，讓花圃的一面靠墻，利用墻壁作為花圃的一邊,，可以省一部分材料,。那么發(fā)揮你的聰明才智，用這36米的籬笆,，怎么樣設(shè)計(jì)才能圍出面積最大的花圃,？

2、看誰(shuí)算得快,！

3,、大家來(lái)挑錯(cuò)！

分析：結(jié)合上一系列題目中的（5）-（7）題可知,，本題的解答忽略了對(duì)基本不等式使用時(shí)必須是正數(shù)這一點(diǎn)注意事項(xiàng),。

本題的解答在使用基本不等式時(shí)沒(méi)有找到定值條件，只是盲目的套用基本不等式的形式,，導(dǎo)致所得結(jié)果并不是最小的值,。

提醒同學(xué)注意：在使用基本不等式求最值為題時(shí)，式中的積或和必須是定值,。

本題的解答沒(méi)有注意本身的限制，使得基本不等式的等號(hào)無(wú)法取得,。

提醒同學(xué)注意：最值是否存在要考慮基本不等式中的`等號(hào)是否能取得,，在什么情況下取得。

（三）小結(jié)：

1,、使用重要不等式和基本不等式需要注意適用條件,，基本不等式需要正數(shù)，重要不等式可用于全體實(shí)數(shù),。

2,、積定和最小、和定積最大,。

3,、使用基本不等式解決最值問(wèn)題需要注意“一正,，二定，三相等”

1,、書后練習(xí)題,。

2、請(qǐng)你給出大家來(lái)挑錯(cuò)環(huán)節(jié)里三道題目的正確解答,。

1,、多媒體的運(yùn)用。

在引入部分,，關(guān)于數(shù)學(xué)家大會(huì)的圖標(biāo),，如果可以進(jìn)一步利用多媒體做出可以變形的效果，讓學(xué)生更加直觀的觀察到變換過(guò)程的話,，教學(xué)效果會(huì)更好,。

2、應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多種思路考慮問(wèn)題

比如這樣的拼湊出定值條件的思路是學(xué)生應(yīng)該掌握的,。

3,、因?yàn)楸竟?jié)是新課講授，學(xué)生新接觸一個(gè)知識(shí),，還沒(méi)有能夠很好的融會(huì)貫通,。因此上在這個(gè)階段不應(yīng)該做過(guò)難的題目。一些簡(jiǎn)單的,，同時(shí)可以起到鞏固新知識(shí)的小題目往往可以起到更好的效果,。本課中設(shè)計(jì)了一些基本可以口答的小題，讓學(xué)生在很短的時(shí)間中完成,。這不僅可以強(qiáng)化學(xué)生會(huì)本節(jié)主要內(nèi)容的理解和運(yùn)用,，而且也對(duì)快速反應(yīng)和解答題目進(jìn)行了強(qiáng)化，提高學(xué)生解題效率,。

4,、讓學(xué)生學(xué)會(huì)檢查和挑錯(cuò)其實(shí)是很重要的。本課中的大家來(lái)挑錯(cuò)環(huán)節(jié)不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容的理解,，而且再遇到相似題型的時(shí)候可以避免犯類似的錯(cuò)誤,，提高教學(xué)效率。同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生質(zhì)疑精神,，尋求科學(xué)真理的熱情,。