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二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇一

1,、使學(xué)生理解最簡二次根式的概念；

2,、掌握把二次根式化為最簡二次根式的方法。

重點：化二次根式為最簡二次根式的方法,。

難點：最簡二次根式概念的理解,。

計算：

我們再看下面的問題：

簡，得到

從上面例子可以看出,，如果把二次根式先進行化簡,，會對解決問題帶來方便。

答：

1,、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或整式,；

2、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式,。

滿足上面兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式,。

例1 試判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是,？為什么,？

解

（1）不是最簡二次根式。因為a3=a2·a,，而a2可以開方,，即被開方數(shù)中有開得盡方的因式。整數(shù),。

（3）是最簡二次根式,。因為被開方數(shù)的因式x2＋y2開不盡方，而且是整式,。

（4）是最簡二次根式,。因為被開方數(shù)的因式a－b開不盡方，而且是整式。

（5）是最簡二次根式,。因為被開方數(shù)的因式5x開不盡方,，而且是整式。

（6）不是最簡二次根式,。因為被開方數(shù)中的因數(shù)8=22·2,，含有開得盡的因數(shù)22。

指出：從（1）,，（2）,，（6）題可以看到如下兩個結(jié)論。

1,、在二次根式的被開方數(shù)中,，只要含有分數(shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式,；

2,、在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)等于或大于2,，也不是最簡二次根式,。

例2 把下列各式化為最簡二次根式：

分析：把被開方數(shù)分解因式或因數(shù)，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

例3 把下列各式化成最簡二次根式：

分析：題（1）的被開方數(shù)是帶分數(shù),，應(yīng)把它變成假分數(shù),，然后將分母有理化，把原式化成最簡二次根式,。

題（2）及題（3）的被開方數(shù)是分式,，先應(yīng)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把原式表示為兩個根式的商的形式，再把分母有理化,，把原式化成最簡二次根式,。

通過例2、例3,，請同學(xué)們總結(jié)出把二次根式化成最簡二次根式的方法,。

答：如果被開方數(shù)是分式或分數(shù)（包括小數(shù)）先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把它寫成分式的形式,，然后利用分母有理化化簡,。

如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先把它分解因式或分解因數(shù),，然后把開得盡方的因式或因數(shù)開出來,，從而將式子化簡。

1,、在下列各式中,，是最簡二次根式的式子為 [ ]的二次根式的式子有_____個,。 [ ]

a、2 b,、3

c,、1 d、0

3,、把下列各式化成最簡二次根式：

答案：

1,、b

2、b

1,、最簡二次根式必須滿足兩個條件：

（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),，因式是整式；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式,。

2,、把一個式子化為最簡二次根式的方法是：

（1）如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先把它分解成因式（或因數(shù)）的積的形式,，把開得盡方的因式（或因數(shù)）移到根號外,；

（2）如果被開方數(shù)含有分母，應(yīng)去掉分母的根號,。

1,、把下列各式化成最簡二次根式：

2、把下列各式化成最簡二次根式：

二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇二

1．掌握二次根式的混合運算．

2．掌握混合運算的應(yīng)用．

3．通過二次根式的混合運算,，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力．

4．通過混合運算知識拓展，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神

小結(jié),、歸納,、提高

1．教學(xué)重點：二次根式的混合運算．

2．教學(xué)難點：混合運算的應(yīng)用．

1課時

投影儀、膠片,、多媒體

復(fù)習(xí)小結(jié),，歸納整理，應(yīng)用提高,，以學(xué)生活動為主

【例題】

例1 化簡：

（1） ,； （2） ．

解：（1）

（2）

說明：在計算過程中要注意各個式子的特點，能否約分或消項（第2小題）達到化簡的目的,，又要善于在規(guī)則允許的情況下可變換相鄰項的位置,，如 ，結(jié)果為－1,，繼續(xù)運算易出現(xiàn)符號上的差錯,，而把 先變?yōu)?，這樣 則為1,，繼續(xù)運算可避免錯誤．

例2 解下列方程（組）：

（1）

（2）

（3）

解：（1）

．

（2）①× ,，得

③

②× ,，得

④

③－④，得

把 代入①,，得

解得 ．

∴

是原方程組的解．

（3）由②,，得

③

①× ，得

④

③－④,，得

把 代入①,，得

．

∴ 是原方程組的解．

例3 已知 ， ,，求 的值．

解： ．

．

,， ，

∴ ．

例4 已知 ,， ,，求 的值．

解： ， ．

．

（二）隨堂練習(xí)

1．教材中p206中8．

2．解不等式： ．

解：

∴

．

3．已知 ,， ,，求 的值．

解：3． ，或 ．

．

∴

．

4．已知 ,， ,，求： 的值．

解 4．

．

5．已知 ，求 的值．

解 5． ．

．

6．不求方根的值比較 與 的大?。?/p>

解 6．∵

∴

∴

（三）總結(jié),、擴展

根據(jù)已知條件，求一個代數(shù)的值,，要注意條件或代數(shù)式的化簡,，有時條件和要求的代數(shù)式都需要化簡，當把條件化簡后,，代數(shù)式的化簡要朝著條件化簡的結(jié)果去化簡．

（四）布置作業(yè)

教材中p207b組1,、3和補充作業(yè)．

補充作業(yè)：

1．已知 ，求 的值．

2．已知 ,， ,，求 的值．

（五）板書設(shè)計

標 題

1．例題……

3．例題……

2．練習(xí)題

4．練習(xí)題

八、背景知識與課外閱讀

二次根式的混和運算方法和順序

1．方法 （1）應(yīng)用二次根式乘法,、除法和加減法運算法則．

（2）在實數(shù)范圍內(nèi)運算律仍適用．

（3）二次根式的乘法,，與多項式的乘法相類似，遇運用多項式乘法公式時,，也可以運用乘法公式．

2．順序 先乘方,、后乘除，最后加減,，有括號的先算括號內(nèi)的數(shù)．

二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇三

教學(xué)準備

1.教學(xué)目標

（1）學(xué)生能用二次根式表示實際問題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系,，體會研究二次根式的必要性．

（2）學(xué)生能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念,，知道被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由，知道二次根式本身是一個非負數(shù),，會求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍． 2.教學(xué)重點/難點

理解二次根式的雙重非負性.

3.教學(xué)用具

4.標簽

教學(xué)過程

1．創(chuàng)設(shè)情境,，提出問題

問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎？

（1）面積為3 的正方形的邊長為_______,，面積為s 的正方形的邊長為_______．

（2）一個長方形圍欄,，長是寬的2 倍，面積為130m?,，則它的寬為______m．

（3）一個物體從高處自由落下,，落到地面所用的時間 t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ,，則t= _____．

師生活動：學(xué)生獨立完成上述問題,，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進行適當引導(dǎo)和評價.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在填空過程中初步感知二次根式與實際生活的緊密聯(lián)系,，體會研究二次根式的必要性．

問題2 上面得到的式子

分別表示什么意義,？它們有什么共同特征？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生說出各式的意義,，概括它們的共同特征：都表示一個非負數(shù)（包括字母或式子表示的非負數(shù)）的算術(shù)平方根．

【設(shè)計意圖】為概括二次根式的概念作鋪墊．

2．抽象概括,，形成概念

問題3 你能用一個式子表示一個非負數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

師生活動：學(xué)生小組討論,，全班交流．教師由此給出二次根式的定義：一般地,，我們把形如

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會由特殊到一般的過程，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力．

追問：在二次根式的概念中,，為什么要強調(diào)“a≥0”,？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生討論，知道二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由．

【設(shè)計意圖】進一步加深學(xué)生對二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理解． 3．辨析概念,，應(yīng)用鞏固

問題4你能比較與0的大小嗎,？

4．綜合運用,，鞏固提高

練習(xí)1 完成教科書第3頁的練習(xí).

練習(xí)2 當x 是什么實數(shù)時,，下列各式有意義

課堂小結(jié)

教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題.

（1）本節(jié)課你學(xué)到了哪一類新的式子,？

（2）二次根式有意義的條件是什么,？二次根式的值的范圍是什么？

（3）二次根式與算術(shù)平方根有什么關(guān)系,？

課后習(xí)題

二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇四

知識與技能：

1,、理解二次根式的概念。

2,、理解二次根式的基本性質(zhì),。

過程與方法：

能運用二次根式的概念解決有關(guān)問題,、

情感態(tài)度與價值觀：

經(jīng)歷觀察、比較,、總結(jié)和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動,，感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗發(fā)現(xiàn)的快樂,，并提高應(yīng)用的意識,。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“整式”、“平方根”,、“算術(shù)平方根”等知識,，已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)二次根式的知識基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ)，但學(xué)生剛認識二次根式,，學(xué)習(xí)將有一定難度,。學(xué)生知識障礙點是二次根式的概念及運算，如果學(xué)生在此不能很好地理解和正確的認知,，將對今后學(xué)習(xí)產(chǎn)生很大影響,，所以要求學(xué)生積極探究、思考,，及時加以鞏固,，克服學(xué)習(xí)困難，真正“學(xué)會”,。

1,、教學(xué)重點為了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由,，知道二次根式本身是一個非負數(shù),，會求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍．

2、教學(xué)難點為：理解二次根式的雙重非負性,、

活動1【導(dǎo)入】活動一

問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎,？

（1）面積為3的正方形的邊長為_______，面積為s的正方形的邊長為_______．

（2）一個長方形圍欄,，長是寬的2倍,，面積為130m？,，則它的寬為______m．

（3）一個物體從高處自由落下,，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h =5t？,，如果用含有h的式子表示t,，則t= _____．

師生活動：學(xué)生獨立完成上述問題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果,，教師進行適當引導(dǎo)和評價,。

問題2上面得到的式子√3,，√s，√h5分別表示什么意義,？它們有什么共同特征,？

活動2【活動】講授

問題3你能用一個式子表示一個非負數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

師生活動：學(xué)生小組討論,，全班交流．教師由此給出二次根式的定義：一般地,，我們把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√ ”稱為二次根號．

追問：在二次根式的概念中,，為什么要強調(diào)“a≥0”,？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生討論，知道二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由．

活動3【講授】辨析概念

例1當x是怎樣的實數(shù)時,，√x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進行思考，鞏固學(xué)生對二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)的理解．

例2當x是怎樣的實數(shù)時,，√x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,？√x3呢？

師生活動：先讓學(xué)生獨立思考,，再追問．

問題4你能比較√a與0的大小嗎,？

師生活動：通過分a> 0和a= 0這兩種情況的討論，比較√a與0的大小,，引導(dǎo)學(xué)生得出√a ≥0的結(jié)論,，強化學(xué)生對二次根式本身為非負數(shù)的理解，

活動4【練習(xí)】練習(xí)

練習(xí)當x是什么實數(shù)時,，下列各式有意義,、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x,；（4）√xx1 ,、

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、

練習(xí)2當x是什么實數(shù)時,，下列各式有意義,、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x,；（4）√xx1 ,、

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí),、

練習(xí)2當x是什么實數(shù)時,，下列各式有意義、

（1）√x2,；（2）√34x（3）√x2√2x,；（4）√xx1 ,、

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、

練習(xí)2當x是什么實數(shù)時,，下列各式有意義,、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x,；（4）√xx1 ,、

活動5【活動】小結(jié)

小結(jié)：

1、二次根式的意義：√a（a≥0）

2,、二次根式的性質(zhì)：

性質(zhì)1 √a2 = a（a≥0）

活動6【測試】目標檢測

1,、下列各式中，一定是二次根式的是（）

a,、√a b√3 ,、 c√x2+1 、 d,、3√5

2,、當x取什么時，二次根式√3x無意義．

3,、當x取何值時,，二次根式√x+3有最小值，其最小值是．

4,、對于√3a1a3,，小紅根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，得出a的取值范圍是a ≥ 13．小慧認為還應(yīng)考慮分母不為0的情況．你認為小慧的想法正確嗎,？試求出a的取值范圍．

活動7【作業(yè)】布置作業(yè)

教科書習(xí)題16,、1第1，3,，5,，7，10題．

二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇五

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握最簡二次根式的定義,，并會應(yīng)用此定義判斷一個根式是否為最簡二次根式,；

2．會運用積和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把一個二次根式化為最簡二次根式,。

教學(xué)重點

最簡二次根式的定義,。

教學(xué)難點

一個二次根式化成最簡二次根式的方法。

教學(xué)過程

1．把下列各根式化簡,，并說出化簡的根據(jù)：

2．引導(dǎo)學(xué)生觀察考慮：

化簡前后的根式,，被開方數(shù)有什么不同？

化簡前的被開方數(shù)有分數(shù)，分式,；化簡后的被開方數(shù)都是整數(shù)或整式,，且被開方數(shù)中開得盡方的因數(shù)或因式，被移到根號外,。

3．啟發(fā)學(xué)生回答：

二次根式,，請同學(xué)們考慮一下被開方數(shù)符合什么條件的二次根式叫做最簡二次根式？

1．總結(jié)學(xué)生回答的內(nèi)容后,，給出最簡二次根式定義：

滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式：

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),，因式是整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式,。

最簡二次根式定義中第(1)條說明被開方數(shù)不含有分母,；分母是1的例外。第(2)條說明被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)小于2,；特別注意被開方數(shù)應(yīng)化為因式連乘積的形式,。

2．練習(xí)：

下列各根式是否為最簡二次根式，不是最簡二次根式的說明原因：

3．例題：

例1 把下列各式化成最簡二次根式：

例2 把下列各式化成最簡二次根式：

4．總結(jié)

把二次根式化成最簡二次根式的根據(jù)是什么,？應(yīng)用了什么方法,？

當被開方數(shù)為整數(shù)或整式時，把被開方數(shù)進行因數(shù)或因式分解,，根據(jù)積的算術(shù)平方根的性質(zhì),，把開得盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替移到根號外面去。

當被開方數(shù)是分數(shù)或分式時,，根據(jù)分式的基本性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化去分母,。

此方法是先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把被開方數(shù)的分母化成能開得盡方的因式，然后分子,、分母再分別化簡,。

1．把下列各式化成最簡二次根式：

2．判斷下列各根式，哪些是最簡二次根式,？哪些不是最簡二次根式,？如果不是，把它化成最簡二次根式,。

二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇六

（一）知識與技能：

1．了解二次根式的概念,，會確定二次根式成立的條件。

2.會用二次根式性質(zhì)進行有關(guān)計算,。

3.

了解逆用公式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解,。

（二）過程與方法：體驗性質(zhì)的推導(dǎo)過程，感受由特殊到一般的方法,。

（三）情感態(tài)度：激發(fā)對數(shù)學(xué)的興趣,。

二次根式成立的條件,，雙重非負性；

用性質(zhì)進行計算,。

性質(zhì)的逆用。

1．什么叫二次根式,？

2．下列各式是二次根式,，求式子中的字母所滿足的條件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0,，故x的取值為任意實數(shù)．

上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義,，并了解了第一個簡單性質(zhì)

我們知道，正數(shù)a有兩個平方根,，分別記作零的平方根是零,。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，其中,，就是一個非負數(shù)a的算術(shù)平方根,。將符號“”看作開平方求算術(shù)平方根的運算，看作將一個數(shù)進行平方的運算,，而開平方運算和平方運算是互為逆運算,，因而有：

這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問學(xué)生,，a可以代表一個代數(shù)式嗎,？

請分析：引導(dǎo)學(xué)生答如時才成立。時才成立,，即a取任意實數(shù)時都成立,。我們知道如果我們把，同學(xué)們想一想是否就可以把任何一個非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方形式了．

例1

計算：

分析：這個例題中的四個小題,，主要是運用公式,。其中(2)、(3),、(4)題又運用了整式乘除中學(xué)習(xí)的積的冪的運算性質(zhì)．結(jié)合第（2）小題中的,，說明，這與帶分數(shù),。因此,，以后遇到，應(yīng)寫成,，而不宜寫成,。

例2

把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式：

(1)5；

(2)11,；

(3)1.6,；

(4)0.35．

例3

把下列各式寫成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1；(2)a4-9,；

(3)3a2-10,；(4)a4-6a2+9．

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1)．

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

1．繼續(xù)鞏固二次根式的定義，及二次根式中被開方數(shù)的取值范圍問題．

2．關(guān)于公式的應(yīng)用,。

(1)經(jīng)常用于乘法的運算中．

(2)可以把任何一個非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式,，解決在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解等方面的問題．

練習(xí)：

1．填空

注意第(4)題需有2m≥0，m≥0,，又需有-3m≥0,，即m≤0，故m=0．

2．實數(shù)a,、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如下圖所示：

分析：通過本題滲透數(shù)形結(jié)合的思想,，進一步鞏固二次根式的定義、性質(zhì),，引導(dǎo)學(xué)生分析：由于a＜0,，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．計算

教材p．172習(xí)題11．1,；a組2,、3；b組2．

補充作業(yè)：

下列各式中的字母滿足什么條件時,，才能使該式成為二次根式,？

分析：要使這些式成為二次根式，只要被開方式是非負數(shù)即可,，啟發(fā)學(xué)生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0,，得a-2b≤0，

但根據(jù)絕對值的性質(zhì),，有｜a-2b｜≥0,，

∴

｜a-2b｜=0，即a-2b=0,，得a=2b．

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0,，-(m2+1)(m-n)≥0

∴

(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0,，

∴

m-n≤0,，即m≤n．

二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇七

1．能用二次根式表示實際問題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，體會研究二次根式的必要性,；(難點)

2．能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念及性質(zhì),，會求二次根式中被開方數(shù)中字母的取值范圍．(重點)

問題1：你能用帶有根號的式子填空嗎？

(1)面積為3的正方形的邊長為________,，面積為s的正方形的邊長為________．

(2)一個長方形圍欄,，長是寬的2倍,，面積為130m2，則它的寬為________m.

(3)一個物體從高處自由落下,，落到地面所用的時間t(單位：s)與落下的高度h(單位：m)滿足關(guān)系h＝5t2,，如果用含有h的式子表示t，則t＝______．

問題2：上面得到的式子,，,，，分別表示什么意義,？它們有什么共同特征,？

探究點一：二次根式的定義

下列各式中,，哪些是二次根式,，哪些不是二次根式？

(1),；(2),；(3)；

(4),；(5),；(6)(x≤3)；

(7)(x≥0),；(8),；(9)；

(10)(ab≥0)．

解析：要判斷一個根式是不是二次根式,，一是看根指數(shù)是不是2,，二是看被開方數(shù)是不是非負數(shù)．

解：因為，,，＝,，(x≤3)，,，(ab≥0)中的根指數(shù)都是2,，且被開方數(shù)為非負數(shù)，所以都是二次根式.的根指數(shù)不是2,，,，(x≥0)，的被開方數(shù)小于0,，所以不是二次根式．

方法總結(jié)：判斷一個式子是不是二次根式,，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號“”；(2)被開方數(shù)是非負數(shù)．

探究點二：二次根式有意義的條件

【類型一】 根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍

求使下列式子有意義的x的取值范圍．

(1),；(2),；(3).

解析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義,，被開方數(shù)大于或等于0且分母不等于0，列不等式(組)求解．

解：(1)由題意得4－3x＞0,，解得x＜.當x＜時,，有意義；

(2)由題意得解得x≤3且x≠2.當x≤3且x≠2時,，有意義,；

(3)由題意得解得x≥－5且x≠0.當x≥－5且x≠0時，有意義．

方法總結(jié)：含二次根式的式子有意義的條件：

(1)如果一個式子中含有多個二次根式,，那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù),；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負數(shù)外,，還必須保證分母不為零．

【類型二】 利用二次根式的非負性求解

(1)已知a,、b滿足＋|b－|＝0，解關(guān)于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1,；

(2)已知x,、y都是實數(shù)，且y＝＋＋4,，求yx的平方根．

解析：(1)根據(jù)二次根式的非負性和絕對值的非負性求解即可,；(2)根據(jù)二次根式的非負性即可求得x的值，進而求得y的值,，進而可求出yx的平方根．

解：(1)根據(jù)題意得解得則(a＋2)x＋b2＝a－1,，即－2x＋3＝－5，解得x＝4,；

(2)根據(jù)題意得解得x＝3.則y＝4,，故yx＝43＝64，±＝±8,，∴yx的平方根為±8.

方法總結(jié)：二次根式和絕對值都具有非負性,，幾個非負數(shù)的和為0，這幾個非負數(shù)都為0.

探究點三：和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題

先觀察下列等式,，再回答下列問題．

①＝1＋－＝1,；

②＝1＋－＝1；

③＝1＋－＝1.

(1)請你根據(jù)上面三個等式提供的信息,，寫出的結(jié)果,；

(2)請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用

含n的式子表示的等式(n為正整數(shù))．

解析：(1)從三個等式中可以發(fā)現(xiàn),，等號右邊第一個加數(shù)都是1,，第二個加數(shù)是個分數(shù)，設(shè)分母為n,，第三個分數(shù)的分母就是n＋1,，結(jié)果是一個帶分數(shù),，整數(shù)部分是1，分數(shù)部分的分子也是1,，分母是前項分數(shù)的分母的積,；(2)根據(jù)(1)找的規(guī)律寫出表示這個規(guī)律的式子．

解：(1)＝1＋－＝1；

(2)＝1＋－＝1(n為正整數(shù))．

方法總結(jié)：解答規(guī)律探究性問題,，都要通過仔細觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系,，通過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來．

1．二次根式的定義

一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．

2．二次根式有意義的條件

被開方數(shù)(式)為非負數(shù),；有意義?a≥0.

通過將新知識與舊知識進行聯(lián)系與對比,，隨后由學(xué)生熟悉的實際問題出發(fā)，用已有的知識進行探究,，由此引入二次根式．在教學(xué)過程中讓學(xué)生感受到研究二次根式是實際的需要,，體會到數(shù)學(xué)與實際生活間的緊密聯(lián)系，以此充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．

二次根式教學(xué)設(shè)計

《二次根式》教學(xué)反思

二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇八

（1）利用歸納類比的方法得出二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì),；

（2）會進行簡單的二次根式的除法運算;

（3） 理解最簡二次根式的概念

本節(jié)內(nèi)容主要是在做二次根式的`除法運算時,，分母含根號的處理方式上,，學(xué)生可能會出現(xiàn)困難或容易失誤,，在除法運算中，可以先計算后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進行,，也可以先利用分式的性質(zhì),，去掉分母中的根號，再結(jié)合乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進行,。二次根式的除法與分式的運算類似,，如果分子、分母中含有相同的因式,，可以直接約去,，以簡化運算。教學(xué)中不能只是列舉題型,，應(yīng)以各級各類習(xí)題為載體,，引導(dǎo)學(xué)生把握運算過程，估計運算結(jié)果,，明確運算方向,。

重點：二次根式的乘法法則與積的算術(shù)平方根的性質(zhì)．

難點：二次根式的除法法則與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)之間的關(guān)系和應(yīng)用。

4,。1 第一學(xué)時

問題1 二次根式的乘法法則是什么內(nèi)容,？化簡二次根式的一般步驟怎樣？

師生活動 學(xué)生回答,。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生回憶探究乘法法則的過程,，類比該過程,，學(xué)生可以探究除法法則．

2．觀察思考，理解法則

問題2 教材第8頁“探究”欄目,，計算結(jié)果如何,？有何規(guī)律？

師生活動 學(xué)生回答,，給出正確答案后,，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)二次根式除法法則：,。

問題3 對比乘法法則里字母的取值范圍,，除法法則里字母的取值范圍有何變化？

師生活動 學(xué)生思考,，回答,。學(xué)生能說明根據(jù)分數(shù)的意義知道，分母不為零就可以了,。

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過自主探究,，采用類比的方法，得出二次根式的除法法則后,，要明確字母的取值范圍,，以免在處理更為復(fù)雜的二次根式的運算時出現(xiàn)錯誤。

問題4 對例題的運算你有什么看法,？是如何進行的,？

師生活動 學(xué)生利用法則直接運算，一般根號下不含分母和開得盡方的因數(shù),。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生初步利用二次根式的性質(zhì),、乘除法法則進行簡單的運算。

問題5 對比積的算術(shù)平方根的性質(zhì),，商的算術(shù)平方根有沒有類似性質(zhì),？

師生活動 學(xué)生類比地發(fā)現(xiàn)，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商,，即 ,。利用該性質(zhì)可以進行二次根式的化簡。

問題2 教材第8頁“探究”欄目,，計算結(jié)果如何,？有何規(guī)律？

師生活動 學(xué)生回答,，給出正確答案后,，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)二次根式除法法則：,。

問題3 對比乘法法則里字母的取值范圍,，除法法則里字母的取值范圍有何變化,？

師生活動 學(xué)生思考，回答,。學(xué)生能說明根據(jù)分數(shù)的意義知道,，分母不為零就可以了。

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過自主探究,，采用類比的方法,，得出二次根式的除法法則后，要明確字母的取值范圍,，以免在處理更為復(fù)雜的二次根式的運算時出現(xiàn)錯誤,。

問題4 對例題的運算你有什么看法？是如何進行的,？

師生活動 學(xué)生利用法則直接運算,，一般根號下不含分母和開得盡方的因數(shù)。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生初步利用二次根式的性質(zhì),、乘除法法則進行簡單的運算,。

問題5 對比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，商的算術(shù)平方根有沒有類似性質(zhì),？

師生活動 學(xué)生類比地發(fā)現(xiàn),，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商，即 ,。利用該性質(zhì)可以進行二次根式的化簡,。

例1 計算： （1） ,； （2） ,； （3） 。

師生活動 提問：你有幾種方法去掉分母中的根號,？去分母的依據(jù)分別是什么,？

再提問：第（2）用什么方法計算更簡捷？第（3）題根號下含字母在移出根號時應(yīng)注意什么,？

【設(shè)計意圖】通過具體問題,，讓學(xué)生在實際運算中培養(yǎng)運算能力，訓(xùn)練運算技能,，

問題5 你能從例題的解答過程中,，總結(jié)一下二次根式的運算結(jié)果有什么特征嗎？

師生活動 學(xué)生總結(jié),，師生共同補充,、完善。要總結(jié)出：

（1）這些根式的被開方數(shù)都不含分母,；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式,；

（3）分母中不含根號,；

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，提出最簡二次根式的概念,，要強調(diào),，在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式,。

問題6 課件展示一組二次根式的計算,、化簡題。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生用總結(jié)出的結(jié)論進行二次根式的運算,。

例2 教材第9頁例7,。

師生活動 提問 本題是以長方形面積為背景的數(shù)學(xué)問題，二次根式的除法運算在此發(fā)揮什么作用,？

再提問 章引言中的問題現(xiàn)在能解決了嗎,？

【設(shè)計意圖】鞏固性練習(xí)，同時培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用二次根式的乘除運算法則解決實際問題的能力,。

1．在 ,、 、 中,，最簡二次根式為 ,。

【設(shè)計意圖】考查對最簡二次根式的概念的理解。

2．化簡下列各式為最簡二次根式： ,； ,。

【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)二次根式的運算法則和運算性質(zhì)。鼓勵學(xué)生用不同方法進行計算,。對于分母含二次根式的處理,，要結(jié)合整式的乘法公式進行計算。

3．化簡：（1） ,； （2） ,。

【設(shè)計意圖】綜合運用二次根式的概念、性質(zhì)和運算法則進行二次根式的運算,。

教科書第10頁練習(xí)第1,，2，3題,；

教科書習(xí)題16,。2第10，11題,。

二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇九

是商的二次根式的性質(zhì)及利用性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算,，利用分母有理化化簡。商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的主線，學(xué)生掌握性質(zhì)在二次根使得化簡和運算的運用是關(guān)鍵,，從化簡與運算由引出初中重要的內(nèi)容之一分母有理化,，分母有理化的理解決定了最簡二次根式化簡的掌握。

教學(xué)難點是與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用,。與乘法既有聯(lián)系又有區(qū)別,，強調(diào)根式除法結(jié)果的一般形式，避免分母上含有根號,。由于分母有理化難度和復(fù)雜性大,，要讓學(xué)生首先理解分母有理化的意義及計算結(jié)果形式。

1,。 本節(jié)內(nèi)容是在有積的二次根式性質(zhì)的基礎(chǔ)后學(xué)習(xí),，因此可以采取學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)的模式，通過前一節(jié)的復(fù)習(xí),，讓學(xué)生通過具體實例再結(jié)合積的性質(zhì),，對比、歸納得到商的二次根式的性質(zhì),。教師在此過程當中給與適當?shù)闹笇?dǎo),，提出問題讓學(xué)生有一定的探索方向。

2,。 本節(jié)內(nèi)容可以分為三課時,，第一課時討論商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，并運用這一性質(zhì)化簡較簡單的二次根式（被開方數(shù)的分母可以開得盡方的二次根式）,；第二課時討論法則,，并運用這一法則進行簡單的運算以及二次根式的乘除混合運算，這一課時運算結(jié)果不包括根號出現(xiàn)內(nèi)出現(xiàn)分式或分數(shù)的情況,；第三課時討論分母有理化的概念及方法,，并進行二次根式的乘除法運算，把運算結(jié)果分母有理化,。這樣安排使內(nèi)容由淺入深,，各部分相互聯(lián)系，因此及彼,，層層展開。

3,。 引導(dǎo)學(xué)生思考“想一想”中的內(nèi)容,，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，教師組織學(xué)生思考,、討論過程當中,，鼓勵學(xué)生大膽猜想，積極探索，運用類比,、歸納和從特殊到一般的思考方法激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的思維,。

教學(xué)設(shè)計示例

1．掌握商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，能利用性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算,；

2．會進行簡單的運算;

3．使學(xué)生掌握分母有理化概念,，并能利用分母有理化解決二次根式的化簡及近似計算問題；

4,。 培養(yǎng)學(xué)生利用公式進行化簡與計算的能力,；

5。 通過二次根式公式的引入過程,，滲透從特殊到一般的歸納方法,，提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力；

6,。 通過分母有理化的教學(xué),，滲透數(shù)學(xué)的簡潔性。

1．重點：會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡,，會進行簡單的運算,，還要使學(xué)生掌握采用分母有理化的方法進行．

2．難點：與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用．

從特殊到一般總結(jié)歸納的方法以及類比的方法,，在學(xué)習(xí)了二次根式乘法的基礎(chǔ)上本小節(jié)

內(nèi)容可引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，進行總結(jié)對比．

利用投影儀．

(一) 引入新課

學(xué)生回憶及得算數(shù)平方根和性質(zhì)： （a≥0,，b≥0）是用什么樣的方法引出的？(上述積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是由具體例子引出的．)

學(xué)生觀察下面的例子,，并計算：

由學(xué)生總結(jié)上面兩個式的關(guān)系得：

類似地，每個同學(xué)再舉一個例子,，然后由這些特殊的例子,，得出：

(二)新課

商的算術(shù)平方根．

一般地，有 （a≥0,，b＞0）

商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根．

讓學(xué)生討論這個式子成立的條件是什么,？a≥0，b＞0,，對于為什么b＞0,，要使學(xué)生通過討論明確，因為b＝0時分母為0,，沒有意義．

引導(dǎo)學(xué)生從運算順序看,，等號左邊是將非負數(shù)a除以正數(shù)b求商,，再開方求商的算術(shù)平方根，等號右邊是先分別求被除數(shù),、除數(shù)的算術(shù)平方根,，然后再求兩個算術(shù)平方根的商，根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進行簡單的二次根式的化簡與運算．

例1 化簡：

（1） ,； （2） ,； （3） ；

解∶（1）

（2）

（3）

說明：如果被開方數(shù)是帶分數(shù),，在運算時,，一般先化成假分數(shù)；本節(jié)根號下的字母均為正數(shù),。

例2 化簡：

（1） ,； (2) ；

解：（1）

（2）

讓學(xué)生觀察例題中分母的特點,，然后提出,， 的問題怎樣解決？

再總結(jié)：這一小節(jié)開始講的二次根式的化簡,，只限于所得結(jié)果的式子中分母可以完全開的盡方的情況,， 的問題,，我們將在今后的學(xué)習(xí)中解決,。

學(xué)生討論本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并進行小結(jié)．

(三)小結(jié)

1．商的算術(shù)平方根的性質(zhì)．(注意公式成立的條件)

2．會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行簡單的二次根式的化簡．

(四)練習(xí)

1．化簡：

（1） ,； （2） ,； （3） ,。

2．化簡：

（1） ,； （2） ,； (3)

教材p．183習(xí)題11．3,；a組1．

二次根式教學(xué)設(shè)計 空間篇十

1、通過二次根式混合運算的學(xué)習(xí)，進一步了解二次根式運算法則,，知道二次根式混合運算順序,，會進行二次根式的混合運算。

2,、在進行二次根式混合運算的過程中,，體會類比思想，逐步養(yǎng)成認真仔細的學(xué)習(xí)品質(zhì),，進一步提高運算能力,。

教學(xué)重點：二次根式混合運算算理的理解。

教學(xué)難點：類比整式運算準確快速的進行二次根式的混合運算,。

教學(xué)過程：

《二次根式混合運算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計-楊桂花

(學(xué)生完成練習(xí)提綱,可以討論,老師做必要的板書準備,然后巡回指導(dǎo),了解情況,、)

練習(xí)提綱：《二次根式混合運算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計-楊桂花

1、學(xué)生匯報解題過程,生說師寫;

2,、發(fā)動其他學(xué)生評價補充完善;

3,、師畫龍點睛強調(diào):

(1)二次根式混合運算的運算順序跟有理數(shù)運算順序一樣，先乘方,，再乘除,，最后加減。

（2）二次根式混合運算與整式的運算有很多相似之處,，因此可類比整式的運算進行二次根式的混合運算,。

(先讓學(xué)生獨立完成，老師做必要的板書準備后巡回指導(dǎo),，了解情況,； 然后讓有一定問題的學(xué)生匯報展示，發(fā)動學(xué)生評價完善,，老師強調(diào)關(guān)鍵地方,，總結(jié)思想方法。）

《二次根式混合運算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計-楊桂花

本節(jié)課你有哪些收獲,？還有什么要提醒同學(xué)們注意的,。（學(xué)生總結(jié)，百花齊放,，老師不做限定,，沒說到的，老師補充,。）

《二次根式混合運算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計-楊桂花